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线丛上的联络、曲率、和乐群以及陈类

Contents Contents 1. 线丛的定义 1. 线丛的定义线丛是向量丛的最简单的实例。 Definition 1. 流形 $M$ (不一定复)上的一个(复)线从 $(L,\pi)$ , 这里 $L$ 是一个流形, $\pi:L\to M$ 是光滑满射, 使得每个纤维 $L_m:=\pi^{-1}(m)$ 是一个1维(复)线性空间；局部平凡：对任意的 $m\in M$ , 存在 $M$ 的开邻域 $U\ni m$ 以及光滑微分同胚 $\phi:\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{C}$ , 使得 $\phi(L_m)=\{m\}\times \mathbb{C}$ 且 $\phi|_{L_m}$ 是一个线性同构。

Neuman边值与Dirichlet边值的反射延拓

我们考虑上半圆盘 $D$ 上最简单的Laplace方程: $\begin{equation}\label{eq:n} \begin{cases} \Delta u=f\in L^2(D),&x\in D\\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=0,&x\in\partial D \end{cases} \end{equation}$ 与 $\begin{equation}\label{eq:d} \begin{cases} \Delta u=f\in L^2(D),&x\in D\\ u=0,&x\in\partial D. \end{cases} \end{equation}$ Theorem 1. 若我们对 $\eqref{eq:n}$ , 作偶延拓 $w(x)=\begin{cases}u(x),&x\in D\\ u(x^*),&x\in D^-\end{cases}$ ; 对 $\eqref{eq:d}$ 作奇延拓 $w(x)=\begin{cases}u(x),&x\in D\\-u(x^*),&x\in D^-\end{cases}$ . 则可验证, 延拓后的 $w$ 是方程 $\eqref{eq:d}$ 在 $B=D\cup D^-$ 上的 $W^{1,2}$ 弱解。

共形变换下曲率关系的活动标架计算方法

假设 $(M,g)$ 是黎曼流形, 令 $\tilde g=e^{2\phi} g$ , 这里 $\phi$ 是 $M$ 上一个光滑函数. 这时称 $(M,g)$ 与 $(M,\tilde g)$ 共形. 我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系. 活动标架为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设 $\set{e_i}$ 是 $(M,g)$ 的一个幺正标架场, $\set{\omega^i}$ 是其对偶标架场. $\nabla,\widetilde\nabla$ 分别表示对应于 $g,\tilde g$ 的黎曼联络, 相应的联络1形式记为 $\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j$ . (回忆, 给定一个联络 $\nabla$ , 以及一个局部标架场 $\set{e_i}$ , 联络1形式 $\set{\omega^i_j}$ 由下式定义: $\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.$ )

共形平坦的黎曼曲面的共形函数所满足的方程

$\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand{\Lp}{\Delta\,}$ 事实上, 假设 $\rd s^2=g_{ij}\rd x^i\rd x^j$ 是 $M^2=(\Omega,g)$ 上的Riemann度量. 要使 $M^2$ 是共形平坦的, 那么 $\rd s^2=g^{ij}\rd x_i\rd x_j=e^{2\lambda u}\left((\rd x_1)^2+(\rd x_2)^2\right).$ 下面, 我们用活动标架法来计算 $M^2$ 的高斯曲率 $K$ .

Krasnoselskii关于复合函数连续性的一个定理

Abstract. Krasnoselskii在[N/A,Thm.~I.2.1]中给出了有界Nemytskii算子连续性的一个判断, Nemytskii算子一般而言不是线性的, 故这一结果是非常重要的。我们直接陈述定理如下。 Theorem 1. 假设 $g:\Omega\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 是一个Carath\’eodory函数, 即 $g(x,u)$ 关于 $x\in\Omega$ 是可测的, 关于 $u\in \mathbb{R}^n$ 是连续的。若 $g$ 满足如下增长条件: 对某个 $s\geq1$ , $\begin{equation}\label{eq:growth-condi} \lvert g(x,u) \rvert\leq C(1+\lvert u \rvert^s). \end{equation}$ 则对任何的 $p\in[1,+\infty)$ , Nemytskii算子 $\begin{align*} \mathcal{N}\mathpunct{:}L^{sp}(\Omega)&\to L^p(\Omega)\\ u&\mapsto g(\cdot, u(\cdot)) \end{align*}$ 是连续的。 References

流形间映射的Jacobian与映射度

假设 $\phi\mathpunct{:}(M,g)\to(N,h)$ 是两个 $n$ 维黎曼流形间的光滑映照。我们的目标是来定义该映照的Jacobian。这对定义映照的度是非常重要的。该定义最重要的是与流形上的坐标选取无关。为此假设 $M$ 上有两套坐标系且其转化函数为 $\Phi\mathpunct{:}(x^1,x^2,\ldots,x^n)\to(y^1,y^2,\ldots,y^n)$ . 类似地， $N$ 上也有两套坐标系且其转化函数为 $\Psi\mathpunct{:}(u^1,u^2,\ldots,u^n)\to(v^1,v^2,\ldots,v^n)$ . 这样，我们知道度量的局部表示为： $\begin{align*} \tilde g_{kl}&=g\left(\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial}{\partial y^l}\right),\quad\tilde h_{\alpha\beta}=h\left(\frac{\partial}{\partial v^\alpha},\frac{\partial}{\partial v^\beta}\right),\\ g_{ij}&=g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right) =g\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial y^l}\right)=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\tilde g_{kl},\\ h_{\alpha\beta}&=\frac{\partial v^\gamma}{\partial u^\alpha}\frac{\partial v^\delta}{\partial u^\beta}\tilde h_{\gamma\delta}. \end{align*}$

极坐标下切向共变微分的一个分部积分公式

假设 $A$ 是 $G$ -主丛 $P$ 的一个联络. 特别地, 我们假设 $G$ 是紧李群, 这样他可视为某个正交群的子群, 进而局部地, 将 $A$ 视为 $\mathfrak{g}$ -值的1-形式时, $A$ 是反对称矩阵. 现在假设 $u,v$ 是 $P$ 的局部截面, 则在极坐标系下, $A=A_rdr+A_\theta d\theta$ 以及 $\nabla_A u=(d+A)u=u_{|r}dr+u_{|\theta}d\theta,\quad u_{|r}=\partial_r u+A_ru,\quad u_{|\theta}=\partial_\theta u+A_\theta u.$ 现在, 我们关于 $u_{|\theta}v_{|\theta}$ 有如下的分部积分公式. $\int_{S^1}u_{|\theta}\cdot v_{|\theta}=-\int_{S^1}u_{|\theta\theta}\cdot v.$

极坐标下库伦规范的表示

在既坐标下，欧氏度量可表示为 $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2.$ 可见， $e_1=\partial_r$ , $e_2=r^{-1}\partial\theta$ 是一个幺正基, 其对偶基为 $\omega^1=dr$ , $\omega^2=rd\theta$ 。我们知道，局部库伦规范的条件是 $d^*A=0,\quad A=A_rdr+A_\theta d\theta=A_r\omega^1+rA_\theta\omega^2.$ 直接计算可得 $\begin{align*} -d^*A&=\left( \nabla_{e_i}A \right)(e_i)=\left( \nabla_{e_i}(A_j\omega^j) \right)(e_i)\\ &=\left( \nabla_{e_i}A_j\omega^j+A_i\nabla_{e_i}\omega^j \right)(e_i)\\ &=\nabla_{e_i}A_i-A_j\omega^j(\nabla_{e_i}e_i). \end{align*}$

关于截断函数构造的一个注记

在实际应用过程中, 我们需要构造满足如下条件的截断函数: $0\leq\phi\leq 1,\quad\phi|_{B_{1}}\equiv1,\quad \mathrm{supp}\phi\subset B_2,\quad\lvert \nabla\phi\rvert/\phi\leq 2.$ 上诉截断函数可以具体的构造为: $\begin{align*} f(t)&=\begin{cases} e^{-1/t},&t>0\\ 0,&t\leq0 \end{cases}\\ g(t)&=\frac{f(2-t)}{f(t-1)+f(2-t)}\\ \phi(t)&=g(|t|) \end{align*}$ 可以验证 \begin{gather*} \phi\in C^\infty,\quad \phi|_{B_1}\equiv 1,\quad \phi|_{B_2^c}\equiv 0,\quad 0\leq\phi\leq 1\\ \phi’/\phi=\begin{cases} \frac{-(5-6|t|+2t^2)\exp\left(\frac{1}{2-3|t|+t^2}\right)\mathrm{Sign}(t)}{\left[(2-3|t|+t^2)\left(\exp\left(\frac{1}{1-|t|}\right)+\exp\left(\frac{1}{|t|-2}\right)\right)\right]^2},&1

Yang–Mills方程的椭圆性验证

通过计算, 好像Yang–Mills方程即使在库伦规范下也不是严格椭圆的啊? 我记得Yang–Mills方程主项是 $dd^*A+d^*dA$ , 其中 $A=A_idx^i$ . 则其弱形式是 $\int\langle d^*A,d^*B\rangle+\langle dA,dB\rangle=0,\quad\forall B=B_jdx^j\in C_0^\infty.$ 直接计算, 我们知道 $\begin{align*} dA&=d(A_idx^i)=\partial_jA_idx^j\wedge dx^i\\ dB&=\partial_k B_ld^k\wedge dx^l\\ d^*A&=-*d*A=-*d\left((-1)^{i-1}A_idx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n\right)\\ &=-*(\partial_iA_idx^1\wedge\cdots dx^n)\\ &=-\partial_iA_i\\ d^*B&=-\partial_kB_k. \end{align*}$