Tag: 连续性

Abstract. Krasnoselskii在[1,Thm.~I.2.1]中给出了有界Nemytskii算子连续性的一个判断, Nemytskii算子一般而言不是线性的, 故这一结果是非常重要的。 我们直接陈述定理如下。 Theorem 1. 假设$g:\Omega\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$是一个Carath\’eodory函数, 即$g(x,u)$关于$x\in\Omega$是可测的, 关于$u\in \mathbb{R}^n$是连续的。若$g$满足如下增长条件: 对某个$s\geq1$, \begin{equation}\label{eq:growth-condi} \lvert g(x,u) \rvert\leq C(1+\lvert u \rvert^s). \end{equation} 则对任何的$p\in[1,+\infty)$, Nemytskii算子 \begin{align*} \mathcal{N}\mathpunct{:}L^{sp}(\Omega)&\to L^p(\Omega)\\ u&\mapsto g(\cdot, u(\cdot)) \end{align*} 是连续的。 References M. Krasnosel skii, Topological methods in the theory of nonlinear integral equations, Translated by A. H. Armstrong; translation edited by J. Burlak. A Pergamon Press Book, The Macmillan Co., New York, 1964. xi + 395. MR0159197