Author Van Abel Posted on May 15, 2023Categories ArXivTags , ,   Leave a comment on A discrete Blaschke Theorem for convex polygons in $2$-dimensional space forms

A discrete Blaschke Theorem for convex polygons in $2$-dimensional space forms

Title: A discrete Blaschke Theorem for convex polygons in $2$-dimensional space forms Authors: Alexander Borisenko and Vicente Miquel Categories: math.DG Comments: 11 pages, 2 figures MSC-class: 52A10, 52B99, 53C20 \\ Let $M$ be a $2$-space form. Let $P$ be a convex polygon in $M$. For these polygons, we define (and justify) a curvature $\kappa_i$ at each vertex $A_i$ of the polygon and and prove the following Blaschke’s type theorem: If $P$ is a convex plygon in $M$ with curvature at … Continue reading “A discrete Blaschke Theorem for convex polygons in $2$-dimensional space forms”

Author Van Abel Posted on December 7, 2017Categories MATHTags , , , ,   Leave a comment on 线丛上的联络、曲率、和乐群以及陈类

线丛上的联络、曲率、和乐群以及陈类

Contents Contents 1.  线丛的定义 1. 线丛的定义 线丛是向量丛的最简单的实例。 Definition 1. 流形$M$(不一定复)上的一个(复)线从$(L,\pi)$, 这里$L$是一个流形, $\pi:L\to M$是光滑满射, 使得 每个纤维$L_m:=\pi^{-1}(m)$是一个1维(复)线性空间；局部平凡：对任意的$m\in M$, 存在$M$的开邻域$U\ni m$以及光滑微分同胚$\phi:\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{C}$, 使得$\phi(L_m)=\{m\}\times \mathbb{C}$且$\phi|_{L_m}$是一个线性同构。

Author Van Abel Posted on November 16, 2017Categories MATHTags , ,   Leave a comment on 共形变换下曲率关系的活动标架计算方法

共形变换下曲率关系的活动标架计算方法

假设$(M,g)$是黎曼流形, 令$\tilde g=e^{2\phi} g$, 这里$\phi$是$M$上一个光滑函数. 这时称$(M,g)$与$(M,\tilde g)$共形. 我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系. 活动标架 为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设$\set{e_i}$是$(M,g)$的一个幺正标架场, $\set{\omega^i}$是其对偶标架场. $\nabla,\widetilde\nabla$分别表示对应于$g,\tilde g$的黎曼联络, 相应的联络1形式记为$\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j$. (回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.$)