Contents Contents 1. 线丛的定义 1. 线丛的定义 线丛是向量丛的最简单的实例。 Definition 1. 流形M(不一定复)上的一个(复)线从(L,\pi), 这里L是一个流形, \pi:L\to M是光滑满射, 使得 每个纤维L_m:=\pi^{-1}(m)是一个1维(复)线性空间；局部平凡：对任意的m\in M, 存在M的开邻域U\ni m以及光滑微分同胚\phi:\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{C}, 使得\phi(L_m)=\{m\}\times \mathbb{C}且\phi|_{L_m}是一个线性同构。
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共形变换下曲率关系的活动标架计算方法
假设(M,g)是黎曼流形, 令\tilde g=e^{2\phi} g, 这里\phi是M上一个光滑函数. 这时称(M,g)与(M,\tilde g)共形. 我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系. 活动标架 为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设\set{e_i}是(M,g)的一个幺正标架场, \set{\omega^i}是其对偶标架场. \nabla,\widetilde\nabla分别表示对应于g,\tilde g的黎曼联络, 相应的联络1形式记为\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j. (回忆, 给定一个联络\nabla, 以及一个局部标架场\set{e_i}, 联络1形式\set{\omega^i_j}由下式定义:\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.)