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  • VanAbel 3:09 am on September 17, 2020 链接地址 | 回复
    Tags: Weyl渐近公式, 谱几何   

    谱几何简介 

    谱几何是研究流形的几何结构和流形上典则的微分算子(主要是Laplace–Beltrami算子)的谱之间的关系. 它主要分成两个研究部分:直接问题以及反问题.

    反问题研究的是能否从Laplace算子的特征值(即谱)来确定流形的几何特征. 这方面最早的结果是Weyl的渐近公式, 它说明欧氏空间中有界区域的体积可以被该区域上Laplace方程的Dirichlet边值问题的谱的渐近行为确定. 通常这一问题被称为"听鼓辨形"[6](PDF). 关于Weyl渐近公式的一个改进是由Minakshisundaram以及Pleijel(Wang zuoqin给出了一个热核证明, 参考Grieser的Notes on heat kernel asymptotics)得到的. 由该公式可以构造关于曲率张量及其高阶导数的局部谱不变量, 它们可以用来建立一类特殊流形的谱刚性结果. 尽管如此, Milnor[7]的研究表明, 存在等谱却不等距的流形. 因此谱不能在等距意义下完全确定流形. 关于Milnor的等谱流形的研究, Sunada[8]给出了一个具体的办法来构造等谱流形.

    直接问题研究的是从流形的几何结构得到流形的谱的行为. 这方面经典的结果是Cheeger得到的Cheeger不等式[3], 它给出了流形的第一特征值于等周常数之间的关系. 自此以后, 这方面有很多研究, 例如Brooks[1]和Buser[2]的结果.

    假设$D\subset \mathbb{R}^2$是一个平面有界区域, 其边界是由逐段光滑曲线构成的, 假设$D$关于Dirichlet或者Neumann边界问题(Laplace算子)的特征根记为$\mu_1^2\leq\mu_2^2\leq\cdots$, 为了研究$\mu_n$当$n\to\infty$时的渐近行为, 考虑特征值计数函数$\mathcal{N}_D(\mu)={}^\#\left\{ n : \mu_n<\mu \right\}$. 则平面Weyl渐近公式[9, 5]可表示为 $$ \mathcal{N}_D(\mu)=\frac{\mathrm{Area}(D)}{4\pi}\mu^2\pm\frac{\mathrm{Length}(\partial D)}{4\pi}\mu+o(\mu). $$ 其中, Dirichlet边界取$-$号, 而Neumann边界取$+$号. 最近wang zuoqin[4]等改进了余项的估计.

    参考文献
    1. R. Brooks, The spectral geometry of a tower of coverings, J. Differential Geom. 23(1986), no. 1, 97---107. MR840402
    2. P. Buser, A note on the isoperimetric constant, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 15(1982), no. 2, 213---230. MR683635
    3. J. Cheeger, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian, (1970), 195---199. MR0402831
    4. J. Guo, W. Wang and Z. Wang, An improved remainder estimate in the Weyl formula for the planar disk, J. Fourier Anal. Appl. 25(2019), no. 4, 1553---1579. MR3977127
    5. V. Ivrii, 100 years of Weyl s law, Bull. Math. Sci. 6(2016), no. 3, 379---452. MR3556544
    6. M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly 73(1966), no. 4, part II, 1---23. MR201237
    7. J. Milnor, Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 51(1964), 542. MR162204
    8. T. Sunada, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math. (2) 121(1985), no. 1, 169---186. MR782558
    9. H. Weyl, Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze, J. Reine Angew. Math. 143(1913), 177---202. MR1580880
     
  • VanAbel 10:00 am on February 11, 2020 链接地址 | 回复  

    自旋几何简介 

    自旋几何简介 Van Abel 02/11/2020

    \begin{document}

    摘要 . 我们简单的介绍自旋几何里基本的概念, 可以参考[1].

    定义 1 (自旋结构). 假设$(M^m,h)$是一个可定向黎曼流形. $M$上的一个自旋结构是一个二元对$(\mathrm{Spin}(M),\eta)$, 其中$\mathrm{Spin}(M)$是$M$上一个$\mathrm{Spin}_m$-主丛, 而$\eta$是一个2重覆盖使得下图交换
    \[
    \begin{CD}
    \mathrm{Spin}(M)\times \mathrm{Spin}[email protected]>\rho_1>> \mathrm{Spin}(M)@>\pi>> M\\
    @VV \eta\times \mathrm{Ad}[email protected]\eta [email protected]|\\
    \mathrm{SO}(M)\times \mathrm{SO}[email protected]>\rho_2>> \mathrm{SO}(M)@>>\pi>M,
    \end{CD}
    \]
    其中$\rho_1$, $\rho_2$分别是自旋群$\mathrm{Spin}_m$和$\mathrm{SO}_m$作用在主丛$\mathrm{Spin}(M)$和$\mathrm{SO}(M)$上.

    $M$上自旋结构的存在性等价于$M$的第二Stiefel-Whitney类$\omega_2(M)=0$, 这是一个拓扑限制.
    (阅读全文 …)
    参考文献
    1. O. Hijazi, Spectral properties of the Dirac operator and geometrical structures, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001. 116---169. MR1867733
     
  • VanAbel 9:17 am on June 27, 2019 链接地址 | 回复  

    Milnor关于有限生成群的分类定理的一个几何方法 

    $\newcommand{\GHto}{\xrightarrow{\mathrm{GH}}}$

    Milnor关于有限生成群的分类定理的一个几何方法 戎小春 06/27/2019

    \begin{document}

    摘要 . 本文主要是基于戎小春教授报告的一个笔记, 主要记录了他们[1]最近关于Milnor关于有限生成群分类问题的一个等价几何刻画.

    1. 字长熵 有限单群的分类被完全解决, 而无限群中, 关于Abel群的分类也已经清楚. 一个自然的问题是比Abel群稍微复杂点的群的分类问题. 而为了刻画一个无限群的复杂程度, 可以用如下的字长熵来定义.
    定义 1. 假设$\Gamma$是一个有限生成的群, 其生成集合为$S$(有限集). 对任意的$\gamma\in\Gamma$, 我们定义其字长
    \[
    \lvert \gamma \rvert_S=\min\left\{ k: \gamma=\gamma_{i_1}\gamma_{i_2}\cdots\gamma_{i_k}, \gamma_{i_j}\in S \right\}.
    \]


    \[
    \lvert \Gamma(R,S) \rvert={}^\sharp\left\{ \gamma\in \Gamma: \lvert \gamma \rvert_S\leq R \right\},
    \]
    即$\Gamma$中字长小于$R$的元素个数. 定义$(\Gamma,S)$的字长熵
    \[
    h_w(\Gamma,S)\mathpunct{:}=\lim_{R\to\infty}\frac{\ln\lvert \Gamma(R,S) \rvert}{R}.
    \]


    (阅读全文 …)
    参考文献
    1. L. Chen, X. Rong and S. Xu, "A Geometric Approach to the Modified Milnor Problem", arXiv e-prints (0000), arXiv:1806.02531.
     
  • VanAbel 11:14 am on March 29, 2019 链接地址 | 回复
    Tags: alpha-调和映照, 互补条件, 存在性   

    $\alpha$-调和映照流的初边值问题之存在性 

    我们首先来看$\alpha$调和映照流, 其方程可以写作
    $$\left\{\begin{aligned}
    \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}u_k^\gamma u_l^\beta}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}&=\Gamma^\beta(u)(\nabla u,\nabla u),\quad x\in M;\\
    u(\cdot,0)&=u_0\in C^\infty(M), \quad x\in M;\\
    u^n(x,t)&=0, \quad (x,t)\in\partial M\times[0,T];\\
    \frac{\partial u^\beta}{\partial\nu}&=0,\quad (x,t)\in \partial M\times [0,T],\quad \beta=1,2,\ldots, n-1.
    \end{aligned}\right.$$
    我们将考虑其线性形式, 即
    $$
    \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}w_k^\gamma w_l^\beta}{1+\lvert \nabla w \rvert^2}=\Gamma^\beta(w)(\nabla w,\nabla w),\quad x\in M.
    $$
    改写成标准的形式
    $$
    \mathcal{L}u=f,
    $$ (阅读全文 …)
     
  • VanAbel 12:49 pm on March 1, 2019 链接地址 | 回复
    Tags: α杨米尔斯-希格斯场   

    α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算 

    回忆, $\alpha$-杨米尔斯–希格斯场的方程为方程组
    $$
    \Delta a_j^\beta=2\left( -a_i^\gamma \partial_ia_j^\delta g_{\gamma\delta}^\beta+\Upsilon h_{ab}(u)u_{|j}^a\lambda_\beta^b(u)+F_{ij}^\gamma a_i^\delta g_{\beta\delta}^\gamma \right),
    $$

    $$
    \mathrm{div}(\Upsilon h_{ab}u_{|i}^a)=\Upsilon h_{ad}(u)u_{|i}^a\left( \Gamma_{bc}^d(u)\partial_iu^c+A_{bi}^d(u) \right)+\mu(u)\cdot\left[ \nabla_{\partial_{f^b}}\mu \right](u),
    $$
    其中$\Upsilon=\alpha(1+\lvert \nabla_Au \rvert^2)^{\alpha-1}=\alpha\left(1+h_{ab}(u)(\partial_iu^a+a_i^\beta\lambda_\beta^a(u))(\partial_iu^b+a_i^\gamma\lambda_\gamma^b(u))\right)^{\alpha-1}$, $u_{|i}^a=\partial_iu^a+a_i^\beta \lambda_\beta^a(u)$, $F_{ij}^\gamma=(\partial_ia_j^\gamma-\partial_ja_i^\gamma)+2a_i^\beta a_j^\delta g_{\beta\delta}^\gamma$, $A_{bi}^d(u)=a_i^\beta\left(\partial_{f^b}\lambda_\beta^d(u)+\lambda_\beta^c(u)\Gamma_{bc}^d(u)\right)$, 而$h$, $\Gamma$, $\lambda$, $\mu$ 是 $u$的光滑函数. 按照定义 $[v_\beta,v_\gamma]=g_{\beta\gamma}^\delta v_\delta$, $\left\{ g_{\beta\gamma}^\delta \right\}$ 称为李代数的结构常数.
    (阅读全文 …)
     
  • VanAbel 3:40 am on March 1, 2019 链接地址 | 回复
    Tags: α调和映照,   

    α调和映照方程的基本计算 

    假设$F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}$, 则容易知道α调和映照的方程为
    $$
    \mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0.
    $$
    其中, $h_{ab}$是靶流形$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$的度量, 而$\Gamma_{ab}^c$为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为$u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a$.

    直接展开知道
    $$
    Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0.
    $$ (阅读全文 …)

     
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