Take notes of Mathematics
Author Van Abel Posted on January 9, 2018Categories MATH Leave a comment on 法局部幺正标架的存在性
假设$M^m$是一个$m$维黎曼流形, $p\in M$ 是一个点。我们称局部幺正标架$\{e_i\}_{i=1}^m$是$p$处的法正交标架, 如果在$p$处, 对任意的$i,j=1,2,\ldots,m$, 成立 $$ \nabla_{e_i}e_j=0. $$ Proposition 1. 对任和黎曼流形$M$上的任意固定点$p$, 存在$p$处的法幺正标架。
Author Van Abel Posted on November 16, 2017Categories MATH Leave a comment on 共形变换下曲率关系的活动标架计算方法
假设$(M,g)$是黎曼流形, 令$\tilde g=e^{2\phi} g$, 这里$\phi$是$M$上一个光滑函数. 这时称$(M,g)$与$(M,\tilde g)$共形. 我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系. 活动标架 为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设$\set{e_i}$是$(M,g)$的一个幺正标架场, $\set{\omega^i}$是其对偶标架场. $\nabla,\widetilde\nabla$分别表示对应于$g,\tilde g$的黎曼联络, 相应的联络1形式记为$\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j$. (回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.$)