假设$F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}$, 则容易知道α调和映照的方程为
$$
\mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0.
$$
其中, $h_{ab}$是靶流形$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$的度量, 而$\Gamma_{ab}^c$为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为$u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a$.
直接展开知道
$$
Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0.
$$
注意到
$$
\Gamma_{ac}^dh_{bd}=\frac{1}{2}\left( \partial_ah_{bc}+\partial_ch_{ab}-\partial_bh_{ac} \right).
$$
我们得到
$$
\begin{aligned}
&Fh_{ab}\Delta u^b+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}h_{ab}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot\nabla u^b\\
&\qquad=\frac{1}{2}F\nabla u^b\cdot\nabla u^c\left( \partial_ah_{bc}+\partial_ch_{ab}-\partial_b h_{ac}-2\partial_c h_{ab} \right)\\
&\qquad=-F\nabla u^b\cdot\nabla u^c \frac{1}{2}\left( \partial_bh_{ac}+\partial_ch_{ab}-\partial_ah_{bc} \right)\\
&\qquad=-F\nabla u^b\cdot\nabla u^c \Gamma_{bc}^dh_{da}.
\end{aligned}
$$
因此
$$
\Delta u^a+\frac{(\alpha-1)}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot\nabla u^a=-\Gamma_{bc}^a\nabla u^b\cdot\nabla u^c.
$$
现在, 注意到
$$
\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot\nabla u^a=\nabla(h_{bc}\nabla u^b\nabla u^c)\cdot\nabla u^a
=\partial_dh_{bc}(\nabla u^d\cdot\nabla u^a)(\nabla u^b\cdot\nabla u^c)+2h_{bc}\nabla^2u^b(\nabla u^c,\nabla u^a).
$$
于是, 我们得到α调和映照的方程的强形式为
$$
\Delta u^a+2(\alpha-1)h_{bc}\frac{\nabla^2u^b(\nabla u^c,\nabla u^a)}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}
=-\partial_dh_{bc}\frac{\nabla u^b\cdot\nabla u^c}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}(\nabla u^a\cdot\nabla u^d)-\Gamma_{bc}^a\nabla u^b\cdot\nabla u^c.
$$
如果我们令(取出发流形的度量为欧氏度量)
$$
a_{ij}^{\beta\gamma}=\delta_{ij}\delta_{\beta\gamma}+\frac{2(\alpha-1)}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}h_{\eta\gamma} u_i^\beta u_j^\eta
$$
则上述方程可改写为如下的(当$\alpha-1$小时, 严格)椭圆系统
$$
a_{ij}^{\beta\gamma}u_{ij}^\gamma=-\partial_\gamma h_{\delta\eta}\frac{\nabla u^\delta\cdot\nabla u^\eta}{1+\lvert \nabla u\rvert^2}\nabla u^\beta\cdot\nabla u^\gamma-\Gamma_{\gamma\delta}^\beta\nabla u^\gamma\cdot\nabla u^\delta.
$$