流形间映射的Jacobian与映射度

假设$\phi\mathpunct{:}(M,g)\to(N,h)$是两个$n$维黎曼流形间的光滑映照。我们的目标是来定义该映照的Jacobian。这对定义映照的度是非常重要的。

该定义最重要的是与流形上的坐标选取无关。为此假设$M$上有两套坐标系且其转化函数为$\Phi\mathpunct{:}(x^1,x^2,\ldots,x^n)\to(y^1,y^2,\ldots,y^n)$. 类似地，$N$上也有两套坐标系且其转化函数为$\Psi\mathpunct{:}(u^1,u^2,\ldots,u^n)\to(v^1,v^2,\ldots,v^n)$. 这样， 我们知道度量的局部表示为：
\begin{align*}
\tilde g_{kl}&=g\left(\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial}{\partial y^l}\right),\quad\tilde h_{\alpha\beta}=h\left(\frac{\partial}{\partial v^\alpha},\frac{\partial}{\partial v^\beta}\right),\\
g_{ij}&=g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right)
=g\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial y^l}\right)=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\tilde g_{kl},\\
h_{\alpha\beta}&=\frac{\partial v^\gamma}{\partial u^\alpha}\frac{\partial v^\delta}{\partial u^\beta}\tilde h_{\gamma\delta}.
\end{align*}

特别地，若记
$$
P_{ij}=\frac{\partial y^j}{\partial x^i},\quad Q_{\alpha\beta}=\frac{\partial v^\beta}{\partial u^\alpha},\quad
A_{i\alpha}=\frac{\partial u^\alpha}{\partial x^i},\quad
\tilde A_{j\beta}=\frac{\partial v^\beta}{\partial y^j}.
$$
则
$$
g=P\tilde gP^T,\quad h=Q\tilde h Q^T.
$$

由于$v=\tilde\phi(y)=\tilde\phi\circ\Phi(x)\mathpunct{:}=\Psi\circ\phi(x)=\Psi(u)$, 我们知道
$$
\frac{\partial v^\alpha}{\partial y^k}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}=\frac{\partial (\tilde\phi\circ\Phi)^\alpha}{\partial x^i}=\frac{\partial (\Psi\circ\phi)^\alpha}{\partial x^i}=\frac{\partial v^\alpha}{\partial u^\beta}\frac{\partial u^\beta}{\partial x^i},
$$
即
$$
P_{ik}\tilde A_{k\alpha}=A_{i\beta}Q_{\beta\alpha}\implies P\tilde A=AQ.
$$

容易验证
\begin{align*}
J(\phi)&=\sqrt{\det h/\det g}\det A\\
&=\det Q/\det P\cdot\sqrt{\det \tilde h/\det\tilde g}\cdot \det P\det\tilde A/\det Q\\
&=\sqrt{\det(\tilde g^{-1}\tilde h)}\det \tilde A=J(\tilde\phi).
\end{align*}
下面， 我们将给出上面定义Jacobian的一个比较几何解释。

回忆, 黎曼流形的体积元定义为:
$$
dv_h=\sqrt{\det h}du^1\wedge\cdots\wedge du^n.
$$
注意到$dv^\alpha=\frac{\partial v^\alpha}{\partial u^\beta}du^\beta$, 故
\begin{align*}
dv^1\wedge\cdots\wedge dv^n&=(Q_{\beta_1 1}du^{\beta_1})\wedge(Q_{\beta_2 2}du^{\beta_2})\wedge\cdots\wedge(Q_{\beta_n n}du^{\beta_n})\\
&=\det Q du^1\wedge\cdots\wedge du^n.
\end{align*}
利用上面的计算知道
\begin{align*}
dv_h&=\sqrt{\det h}du^1\wedge\cdots\wedge du^n\\
&=\det Q\sqrt{\det\tilde h}du^1\wedge\cdots\wedge du^n\\
&=\sqrt{\det\tilde h}dv^1\wedge\cdots\wedge dv^n=dv_{\tilde h}.
\end{align*}
即它与坐标系的选择是无关的.

现在, 注意到$\phi^* du^\alpha=\frac{\partial u^\alpha}{\partial x^i}dx^i=A_{i\alpha}dx^i$. 我们有
\begin{align*}
\phi^*(dv_h)&=\sqrt{\det h}\circ\phi\cdot (\phi^*du^1)\wedge\cdots\wedge(\phi^*du^n)\\
&=\det A\sqrt{\det h}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\\
&=\det A\sqrt{\det h/\det g}\sqrt{\det g}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\\
&=J(\phi)dv_g.
\end{align*}
这正是在通常的黎曼积分的换元法中的面积元的变换公式.

注意到, $dv_g$, $dv_h$都与坐标系的选择无关, 故$J(\phi)$也不依赖于坐标系的选择. 它是一个几何量, 局部地, 它刻画了映照 $\phi$ 的像集的面积微元与原像集的面积微元之比.  积分后我们得到一个整体的不变量. 即如下定义的