Tag: 极坐标，库伦规范

在既坐标下，欧氏度量可表示为 \[ ds^2=dr^2+r^2d\theta^2. \] 可见，$e_1=\partial_r$, $e_2=r^{-1}\partial\theta$是一个幺正基, 其对偶基为$\omega^1=dr$, $\omega^2=rd\theta$。我们知道，局部库伦规范的条件是 \[ d^*A=0,\quad A=A_rdr+A_\theta d\theta=A_r\omega^1+rA_\theta\omega^2. \] 直接计算可得 \begin{align*} -d^*A&=\left( \nabla_{e_i}A \right)(e_i)=\left( \nabla_{e_i}(A_j\omega^j) \right)(e_i)\\ &=\left( \nabla_{e_i}A_j\omega^j+A_i\nabla_{e_i}\omega^j \right)(e_i)\\ &=\nabla_{e_i}A_i-A_j\omega^j(\nabla_{e_i}e_i). \end{align*}