极坐标下切向共变微分的一个分部积分公式

假设$A$是$G$-主丛$P$的一个联络. 特别地, 我们假设$G$是紧李群, 这样他可视为某个正交群的子群, 进而局部地, 将$A$视为$\mathfrak{g}$-值的1-形式时, $A$是反对称矩阵. 现在假设$u,v$是$P$的局部截面, 则在极坐标系下, $A=A_rdr+A_\theta d\theta$ 以及
$$
\nabla_A u=(d+A)u=u_{|r}dr+u_{|\theta}d\theta,\quad u_{|r}=\partial_r u+A_ru,\quad u_{|\theta}=\partial_\theta u+A_\theta u.
$$
现在, 我们关于$u_{|\theta}v_{|\theta}$有如下的分部积分公式.
$$
\int_{S^1}u_{|\theta}\cdot v_{|\theta}=-\int_{S^1}u_{|\theta\theta}\cdot v.
$$

事实上, 直接计算可知
\begin{align*}
u_{|\theta}v_{|\theta}&=(u_\theta+A_\theta u)\cdot(v_\theta+A_\theta v)\\
&=\partial_\theta(u_\theta\cdot v)-u_{\theta\theta}\cdot v+A_\theta u\cdot v_\theta+u_\theta\cdot A_\theta v+A_\theta u\cdot A_\theta v\\
&=\partial_\theta(u_\theta \cdot v)-u_{\theta\theta}\cdot v+\partial_\theta(A_\theta u\cdot v)-\partial_\theta(A_\theta u)\cdot v\\
&\qquad+u_\theta\cdot A_\theta v+A_\theta u\cdot A_\theta v\\
u_{|\theta\theta}\cdot v&=\partial_\theta(u_\theta+A_\theta u)\cdot v+A_\theta(u_\theta+A_\theta u)\cdot v\\
&=u_{\theta\theta}\cdot v+\partial_\theta(A_\theta u)\cdot v+A_\theta u_\theta\cdot v+A_\theta^2u\cdot v\\
&=u_{\theta\theta}\cdot v+\partial_\theta(A_\theta u)\cdot v-u_\theta\cdot A_\theta v-A_\theta u\cdot A_\theta v
\end{align*}
最后一个等号处, 我们用了$A_\theta=-A_\theta^T$.

这样, 我们得到
$$
u_{|\theta}\cdot v_{|\theta}=\partial_\theta(u_\theta\cdot v+A_\theta u\cdot v)-u_{|\theta\theta}\cdot v,
$$
由此, 易见结论成立.

最后, 我们

事实上,
$$
\partial_ru_{|\theta}=\partial_r(u_\theta+A_\theta u)=u_{r\theta}+\partial_rA_\theta u+A_\theta u_r=u_{r|\theta}+\partial_rA_\theta u.
$$