Tag: 导数控制

在实际应用过程中, 我们需要构造满足如下条件的截断函数: $$ 0\leq\phi\leq 1,\quad\phi|_{B_{1}}\equiv1,\quad \mathrm{supp}\phi\subset B_2,\quad\lvert \nabla\phi\rvert/\phi\leq 2. $$ 上诉截断函数可以具体的构造为: \begin{align*} f(t)&=\begin{cases} e^{-1/t},&t>0\\ 0,&t\leq0 \end{cases}\\ g(t)&=\frac{f(2-t)}{f(t-1)+f(2-t)}\\ \phi(t)&=g(|t|) \end{align*} 可以验证 \begin{gather*} \phi\in C^\infty,\quad \phi|_{B_1}\equiv 1,\quad \phi|_{B_2^c}\equiv 0,\quad 0\leq\phi\leq 1\\ \phi’/\phi=\begin{cases} \frac{-(5-6|t|+2t^2)\exp\left(\frac{1}{2-3|t|+t^2}\right)\mathrm{Sign}(t)}{\left[(2-3|t|+t^2)\left(\exp\left(\frac{1}{1-|t|}\right)+\exp\left(\frac{1}{|t|-2}\right)\right)\right]^2},&1