假设$u(x)$是$\mathbb{R}^n$上一个(实/复)函数, 定义$u$的上水平集为
$$
\mu(t)=|\{x\in\mathbb{R}^m:u(x)>t\}|.
$$
又定义$u$的球对称重排(spherically symmetric rearrangement)为
$$
u^*(x)=\sup\{t:\mu(t)>|B_{|x|}|\}
$$
其中$B_{|x|}$表示$\mathbb{R}^m$中半径为$|x|$的球。
Example 1. 假设$u(x)=4-(x-7)^2$, $x\in\mathbb{R}^1$, 则$u^*(x)=4-x^2$.
事实上, 直接计算得到
$$
\mu(t)=|\{x\in\mathbb{R}:4-(x-7)^2>t\}|=2\sqrt{4-t}.
$$
而$|B_{|x|}|=2|x|$. 因此
$$
u^*(x)=\sup\{t:\mu(t)>|B_{|x|}|\}=4-|x|^2.
$$
