我们直接陈述定理如下。
Theorem 1. 假设$g:\Omega\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$是一个Carath\’eodory函数, 即$g(x,u)$关于$x\in\Omega$是可测的, 关于$u\in \mathbb{R}^n$是连续的。若$g$满足如下增长条件: 对某个$s\geq1$,
\begin{equation}\label{eq:growth-condi}
\lvert g(x,u) \rvert\leq C(1+\lvert u \rvert^s).
\end{equation}
则对任何的$p\in[1,+\infty)$, Nemytskii算子
\begin{align*}
\mathcal{N}\mathpunct{:}L^{sp}(\Omega)&\to L^p(\Omega)\\
u&\mapsto g(\cdot, u(\cdot))
\end{align*}
是连续的。
\begin{equation}\label{eq:growth-condi}
\lvert g(x,u) \rvert\leq C(1+\lvert u \rvert^s).
\end{equation}
则对任何的$p\in[1,+\infty)$, Nemytskii算子
\begin{align*}
\mathcal{N}\mathpunct{:}L^{sp}(\Omega)&\to L^p(\Omega)\\
u&\mapsto g(\cdot, u(\cdot))
\end{align*}
是连续的。
Proof . 当$\lvert\Omega\rvert<+\infty$时, 注意到,
\[
\lvert g(x,u) \rvert^p\leq C^p(1+\lvert u \rvert^s)^p\leq(2C)^p\left( 1+\lvert u \rvert^{ps} \right),
\]
可见, $g\in L^p(\Omega)$.
为了证明算子$\mathcal{N}$的连续性, 假设$u_n\to u\in L^{ps}(\Omega)$, 我们需要证明$\lVert g(x,u_n(x))-g(x,u(x))\rVert_{L^p(\Omega)}\to0$. 反设结论不成立, 则存在$\epsilon>0$, 以及子序列$\left\{ v_n \right\}\subset\left\{ u_n \right\}$使得
\begin{equation}\label{eq:contra}
\lVert g(x,v_n(x))-g(x,u(x))\rVert_{L^p(\Omega)}\geq\epsilon.
\end{equation}
现在由于$u_n\to u\in L^{ps}(\Omega)$, 我们知道$v_n\to u\in L^{ps}(\Omega)$. 选取$\left\{ w_n \right\}\subset\left\{ v_n \right\}$使得$\lVert w_{n+1}-w_n\rVert_{L^{ps}(\Omega)}\leq 2^{-n}$, 并令
\[
W(x)=\lvert w_1(x) \rvert+\sum_{n=1}^\infty\lvert w_{n+1}(x)-w_n(x)\rvert,
\]
则易见
\[
\lvert w_n \rvert\leq W(x),\quad \lvert u \rvert\leq W(x),\quad W(x)\in L^{ps}(\Omega).
\]
现在, 我们注意到
\begin{align*}
\lvert g(x,w_n(x))-g(x,u(x)) \rvert^p&\leq 2^p\left( \lvert g(x,w_n(x))\rvert^p+\lvert g(x,u(x)) \rvert^p \right)\\
&\leq (4C)^p\left( 1+ \lvert w_n \rvert^{ps}+1+\lvert u \rvert^{ps} \right)\\
&\leq (4C)^p\left( 2+ \lvert W \rvert^{ps} \right)
\end{align*}
由于右端是可积的, 故由Lebesgue控制收敛定理知$g(x,w_n(x))\to g(x,u(x))$依$L^p(\Omega)$收敛。这与\eqref{eq:contra}矛盾。
\begin{equation}\label{eq:contra}
\lVert g(x,v_n(x))-g(x,u(x))\rVert_{L^p(\Omega)}\geq\epsilon.
\end{equation}
现在由于$u_n\to u\in L^{ps}(\Omega)$, 我们知道$v_n\to u\in L^{ps}(\Omega)$. 选取$\left\{ w_n \right\}\subset\left\{ v_n \right\}$使得$\lVert w_{n+1}-w_n\rVert_{L^{ps}(\Omega)}\leq 2^{-n}$, 并令
\[
W(x)=\lvert w_1(x) \rvert+\sum_{n=1}^\infty\lvert w_{n+1}(x)-w_n(x)\rvert,
\]
则易见
\[
\lvert w_n \rvert\leq W(x),\quad \lvert u \rvert\leq W(x),\quad W(x)\in L^{ps}(\Omega).
\]
现在, 我们注意到
\begin{align*}
\lvert g(x,w_n(x))-g(x,u(x)) \rvert^p&\leq 2^p\left( \lvert g(x,w_n(x))\rvert^p+\lvert g(x,u(x)) \rvert^p \right)\\
&\leq (4C)^p\left( 1+ \lvert w_n \rvert^{ps}+1+\lvert u \rvert^{ps} \right)\\
&\leq (4C)^p\left( 2+ \lvert W \rvert^{ps} \right)
\end{align*}
由于右端是可积的, 故由Lebesgue控制收敛定理知$g(x,w_n(x))\to g(x,u(x))$依$L^p(\Omega)$收敛。这与\eqref{eq:contra}矛盾。
Remark 1. 上面证明中假设区域是有界的主要是因为$g$的增长性条件中有常数项。若没有常数项, 则该条件可以去掉。
Remark 2. 思考：如何改造上述证明, 使得结论对$\lvert \Omega \rvert=+\infty$也对？
References
- , Topological methods in the theory of nonlinear integral equations, Translated by A. H. Armstrong; translation edited by J. Burlak. A Pergamon Press Book, The Macmillan Co., New York, 1964. xi + 395. MR0159197