Tag: 弱解

我们考虑上半圆盘$D$上最简单的Laplace方程: \begin{equation}\label{eq:n} \begin{cases} \Delta u=f\in L^2(D),&x\in D\\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=0,&x\in\partial D \end{cases} \end{equation} 与 \begin{equation}\label{eq:d} \begin{cases} \Delta u=f\in L^2(D),&x\in D\\ u=0,&x\in\partial D. \end{cases} \end{equation} Theorem 1. 若我们对\eqref{eq:n}, 作偶延拓$w(x)=\begin{cases}u(x),&x\in D\\ u(x^*),&x\in D^-\end{cases}$; 对\eqref{eq:d}作奇延拓$w(x)=\begin{cases}u(x),&x\in D\\-u(x^*),&x\in D^-\end{cases}$. 则可验证, 延拓后的$w$是方程\eqref{eq:d}在$B=D\cup D^-$上的$W^{1,2}$弱解。