线丛上的联络、曲率、和乐群以及陈类

Contents
Contents
 1.  线丛的定义
 2.  线丛的联络
   2.1.  联络的局部表示
   2.2.  联络的转移关系
   2.3.  联络诱导的共变外微分
 3.  线丛的曲率
   3.1.  曲率的基本性质
 4.  Hermitian线丛
   4.1.  Hermitian全纯线丛的曲率
 5.  线丛的和乐群
   5.1.  和乐群与曲率的关系
 6.  陈类

1. 线丛的定义 线丛是向量丛的最简单的实例。

Definition 1. 流形$M$(不一定复)上的一个(复)线从$(L,\pi)$, 这里$L$是一个流形, $\pi:L\to M$是光滑满射, 使得
  • 每个纤维$L_m:=\pi^{-1}(m)$是一个1维(复)线性空间；
  • 局部平凡：对任意的$m\in M$, 存在$M$的开邻域$U\ni m$以及光滑微分同胚$\phi:\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{C}$, 使得$\phi(L_m)=\{m\}\times \mathbb{C}$且$\phi|_{L_m}$是一个线性同构。

Remark 1. 按照定义可以验证, $\pi$是一个淹没(submersion), 即$\pi_*|_p：TL\to T_{\pi(p)}M$是满射。

Example 1 (Hopf丛). 回忆, $\mathbb{C}P^1$的齐次坐标为$z=[z^0,z^1]$, 它可由两个坐标卡覆盖$\{(U_i,\psi_i)\}_{i=0}^1$, 其中$U_1=\{[z]:z^i\neq0\}$, $\psi_0([z])=z^1/z_0$, $\psi_1([z])=z^0/z^1$. $\mathrm{C}P^1$和$S^2$是微分同胚的, 同胚映射可由
\begin{align*}
\Psi:S^2&\to \mathbb{C}P^1\\
(x,y,z)&\mapsto [x+iy,1-z].
\end{align*}
现在, 定义Hopf线丛$H$如下：令
$$
H=\set{(w,[z])\in \mathbb{C}^2\times \mathbb{C}P^1:w=\lambda z,\text{ for some $\lambda\in\mathbb{C}^*$}}.
$$
若定义投射$\pi((w,[z]))=[z]$, 则纤维$H_{[z]}=\pi^{-1}([z])=\set{(\lambda z,[z]):\lambda\in\mathbb{C}^*}$, 其实的线性结构可定义如下：
$$
\alpha(w,[z])+\beta(w’,[z])=(\alpha w+\beta w’, [z]).
$$
可以验证如上定义的$H$满足局部平凡化条件, 从而是$\mathbb{C}P^1$上的一个复线丛。

局部地(在$U_\alpha$上), 我们可以选取线丛$L$处处非零的截面$s_a$, 例如$s_\alpha(p)=\phi^{-1}(\pi(p),1)$. 假设$\xi$是$L$的一个整体截面, 则$\xi|_{U_\alpha}=\xi_\alpha s_\alpha$, 这里$\xi_\alpha：U_\alpha\to\mathbb{C}$. 特别地, 在$U_\alpha\cap U_\beta$上, $\xi_\alpha s_\alpha=\xi_\beta s_\beta$. 一般地, 我们可以定义函数$g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to\mathbb{C}^*$, $s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_\beta$. 因此, 对$M$的开覆盖$\{U_\alpha\}$, 按上述定义的$\{\xi_\alpha\}$决定了一个整体截面当且仅当$\xi_\beta=g_{\alpha\beta}\xi_\alpha$. 可以证明, $L$有处处非零的整体截面当且仅当$L$是平凡的。 事实上, 如果$s$是$L$上一个处处非零的整体截面, 则可定义线丛的同构$\Phi: M\times\mathbb{C}\to L$, $(m,\lambda)\mapsto \lambda s(m)$ (请自行验证它是平凡线丛到$L$的微分同胚且限制在每条纤维上是线性同构).
Definition 2 (转移函数). 如上定义的函数$g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to\mathbb{C}^*$称为线丛$L$在局部平凡化$\{U_\alpha\}$下的转移函数。

容易验证, 转移函数满足如下的cocycle条件：
$$
g_{\alpha\alpha}=1,\,\forall x\in U_\alpha,\forall U_\alpha, \quad\text{ 以及 }\quad g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}g_{\gamma\alpha}=1, \forall x\in U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma.
$$
反过来, 对任何满足上述cocycle条件的转移函数簇, 可以构造与$L$同构的线丛。
Example 2. 定义Hopf线丛的截面$s_i:U_i\to H$,
$$
s_0([z])=\Bigl(\bigl(1,z^1/z^0\bigr),[z]\Bigr),\quad
s_1([z])=\Bigl(\bigl(z^0/z^1,1\bigr),[z]\Bigr)
$$
则其转移函数为$g_{01}([z])=z^1/z^0$.

Example 3. 假设$E=(E,\pi,M)$是一个秩为$n$的复向量丛, 则外积丛$\wedge^nE$的转移函数为$\det g_{\alpha\beta}\in\mathbb C^*$。 它也称为行列式丛, 它也是一个线丛。

事实上, 假设$E$的转移函数为$g_{\alpha\beta}\in\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$, 而$\{s_{\alpha,i}\}_{i=1}^n$是$E$的局部标架场. 记$\tilde s_\alpha=s_{\alpha,1}\wedge\cdots\wedge s_{\alpha,n}$, 则由于$s_{\alpha,i}=g_{\alpha\beta}s_{\beta,i}$, 我们知道
$$
\tilde s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_{\beta,1}\wedge\cdots\wedge g_{\alpha\beta}s_{\beta,n}
=\det g_{\alpha\beta}\tilde s_\beta.
$$
2. 线丛的联络 线丛的联络为我们对线丛上的对象求导给出了方法。
Definition 3 (线丛的联络). 线丛$L$的一个联络是线性映射：
$$
\nabla:\Gamma(M,L)\to\Gamma(M,\Omega^1(L)),\quad\Omega^1(L):=T^*M\times L,
$$
使得如下的Liebniz法则成立：
$$
\nabla(fs)=df\times s+f\nabla s,\quad\forall f\in C^\infty(M,L),\quad\forall s\in\Gamma(M,L).
$$

Example 4 (Hopf线丛上的诱导联络). 回忆, $H\hookrightarrow \mathbb{C}^2\times\mathbb{C}P^1$, 因此截面$s\in\Gamma(H)$可以视为函数$s:\mathbb CP^1\to\mathbb C^2$, $s([z])=\lambda z$, $\lambda\in\mathbb C^*$. 定义
$$
\nabla s=(d s)^\top,
$$
这里$ds$是到$\mathbb C^2$的函数的微分, 而${}^\top$是$\mathbb C^2$到$H$的正交投影。

2.1. 联络的局部表示 由联络的基本性质, 可以知道联络具有局部性, 从而我们可以在局部平凡化下将其具体表示出来。
假设$s_\alpha:U_\alpha\to L$是线丛$L$的一个处处非零的局部截面。定义$U_\alpha$上的1形式$A_\alpha$, $\nabla s_\alpha=A_\alpha\otimes s_\alpha$. 注意到, 对$\xi\in\Gamma(M,L)$, 局部地, $\xi|_{U_\alpha}=\xi_\alpha s_\alpha$, $\xi_\alpha:U_\alpha\to\mathbb C$, 我们有
$$
(\nabla\xi)|_{U_\alpha}=d\xi_\alpha s_\alpha+\xi_\alpha\nabla s_\alpha
=(d\xi_\alpha+ A_\alpha\xi_\alpha)s_\alpha.
$$
因此, 局部地, 我们往往将联络写成$\nabla=d+A$的形式, 这里$A\in\Omega^1(U;\mathrm{End}\mathbb C)=\Omega^1(U,\mathbb C)$。
2.2. 联络的转移关系 回忆, 按照转移函数的定义$s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_\beta$, 故
$$
A_\alpha s_\alpha=ds_\alpha=dg_{\alpha\beta}s_\beta+g_{\alpha\beta}\nabla s_\beta=dg_{\alpha\beta}g_{\alpha\beta}^{-1}s_\alpha+g_{\alpha\beta}A_\beta g_{\alpha\beta}^{-1}s_\alpha,
$$
这表明
$$
A_\alpha=g_{\alpha\beta}^{-1}A_\beta g_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}
=A_\beta+g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}.
$$
事实上, 满足上述关系的一簇$\set{A_\alpha}$唯一决定了$L$的一个联络, 局部地, 我们定义$\nabla s_\alpha=A_\alpha s_\alpha$即可。
2.3. 联络诱导的共变外微分 我们记$\Omega^k(L):=\Gamma(M,\wedge^kT^*M\otimes L)$, $\Omega^k(\mathrm{End}L):=\Gamma(M,\wedge^kT^*M\otimes \mathrm{End}L)$.
Definition 4 (共变外微分). 若$\nabla$是$L$上一联络, 则对$\omega\otimes s\in\Omega^k(L)$, 定义
$$
D(\omega\otimes s)=d\omega\otimes s+(-1)^k\omega\wedge\nabla s.
$$
对$T\in\Omega^k(\mathrm{End}L)$, 定义
$$
(DT)s=D(Ts)-(-1)^kT(\nabla s).
$$

局部地, 我们知道$\nabla=d+A$, 故
\begin{align*}
(DT)s&=D(Ts)-(-1)^kT\wedge(\nabla s)\\
&=d(Ts)+A\wedge Ts-(-1)^kT\wedge(ds+As)\\
&=d(Ts)-(-1)^kT\wedge ds+(A\wedge T-(-1)^kT\wedge A)s\\
&=(dT+A\wedge T-(-1)^kT\wedge A)s.
\end{align*}
我们将其简记为
$$
DT=dT+[A\wedge T].
$$
3. 线丛的曲率 回忆, 线丛的联络局部由满足转移关系$A_\alpha=A_\beta+g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}$的一簇1形式$\set{A_\alpha}$决定。注意到
$$
dA_\alpha=dA_\beta+d(g_{\alpha\beta}^{-1}d g_{\alpha\beta})
=dA_\beta.
$$
故2形式$dA_\alpha$是整体定义的。
Definition 5 (联络的曲率). 我们称上述整体定义的2形式为联络$\nabla$的曲率, 记作$F_\nabla$或者$F$。

3.1. 曲率的基本性质
Proposition 6. 假设$F$是联络$\nabla$的曲率, 则
  • $F=D^2=D\nabla$;
  • 第二Bianchi恒等式： $\nabla F=0$;
  • 若$\nabla’$是另一联络, 则存在整体1形式$\eta\in\Omega^1(M)$, 使得
    $$
    \nabla’=\nabla+\eta,\quad
    F_{\nabla’}=F_\nabla+d\eta.
    $$

Proof . 事实上, 局部地假设$s_\alpha$是线丛$L$的局部标架, 则$L$的任意截面可表示为$s=f_\alpha s_\alpha$, 这里$f_\alpha$是$U_\alpha\subset M$上的复值函数。我们可以计算如下：
\begin{align*}
D^2s&=D(\nabla s)=D[(d f_\alpha+f_\alpha A_\alpha)s_\alpha]\\
&=d(df_\alpha+A_\alpha f_\alpha)s_\alpha+(-1)^1(df_\alpha+A_\alpha f_\alpha)\wedge\nabla s_\alpha\\
&=[dA_\alpha f_\alpha-A_\alpha\wedge df_\alpha-(df_\alpha+A_\alpha f_\alpha)\wedge A_\alpha]s_\alpha\\
&=[dA_\alpha f_\alpha-A_\alpha\wedge df_\alpha+A_\alpha\wedge(df_\alpha+A_\alpha f_\alpha)]s_\alpha\\
&=[dA_\alpha+A_\alpha\wedge A_\alpha]f_\alpha s_\alpha\\
&=(dA_\alpha+A_\alpha\wedge A_\alpha)s.
\end{align*}
但是注意到, $A_\alpha$是$U_\alpha$上复值的1-形式, 故$A_\alpha\wedge A_\alpha=0$. 从而我们得到
$$
[D^2 s]|_{U_\alpha}=dA_\alpha s=[F_\nabla s]|_{U_\alpha}.
$$

对第二条, 按照定义：
\begin{align*}
\nabla F|_{U_\alpha}&=dF|_{U_\alpha}+[A_\alpha\wedge F|_{U_\alpha}]\\
&=d(dA_\alpha)+[A_\alpha\wedge (dA_\alpha)]\\
&=A_\alpha\wedge d A_\alpha-(-1)^2dA_\alpha\wedge A_\alpha\\
&=0.
\end{align*}

对第三条, 局部地, 我们知道$\nabla|_{U_\alpha}=d+A_\alpha$, $\nabla’|_{U_\alpha}=d+A_\alpha’$, 假设$A_\alpha’-A_\alpha=\eta_\alpha\in \Gamma(T^*U_\alpha)$, 则
$$
\eta_\beta=A_\beta’-A_\beta=A_\alpha’-g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}-(A_\alpha-g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta})
=A_\alpha’-A_\alpha=\eta_\alpha.
$$
故$\eta$是整体的1形式。

最后
$$
F_{\nabla’}|_{U_\alpha}=dA_\alpha’=d(A_\alpha+\eta_\alpha)=F_\nabla|_{U_\alpha}+d\eta_\alpha,
$$
因此
$$
F_{\nabla’}=F_\nabla+d\eta.
$$


4. Hermitian线丛
Definition 7 (Hermitian线丛). 如果线丛$L$上具有一个Hermitian内积$h$, 即$h|_m(\cdot,\cdot)$定义了$L_{m}$上一个Hermitian内积(第二分量共轭线性)且$h$关于$m$光滑, 则我们称$(L,h)$为一个Hermitian线丛。

Definition 8 (全纯线丛及其截面). 假设$L$, $M$是两个复流形, 线丛$(L,\pi,M)$称为是一个全纯线丛, 如果$\pi:L\to M$是全纯的, 且转移函数$g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to C^*$是全纯函数。

全纯线丛的一个局部截面$s$称为是局部全纯截面, 如果在局部平凡化下, 它是一个全纯映射$s:U_\alpha\to U_\alpha\times\mathbb C$. 明显地, $s_\alpha(p)=\phi^{-1}(\pi(p),1)$就是一个局部全纯截面。

我们称全纯线丛的一个截面$s$是全纯截面, 如果它在全纯标架下的表示系数是全纯函数。


回忆, 对复流形$M$, 其实有复坐标系$z=(z^1,\ldots,z^n)$. 对$M$上的$(p,q)$形式$\omega$. 在局部坐标系下可将其表示为, $\omega=f_{IJ}dz^I\wedge d\bar z^J$, $|I|=p$, $|J|=q$. 故外微分可分解为
\begin{align*}
d\omega&=df_{IJ}dz^I\wedge d\bar z^J\\
&=\partial_{z^l}f_{IJ}dz^l\wedge dz^I\wedge d\bar z^J+\partial_{\bar z^l}f_{IJ} d\bar z^l\wedge dz^I\wedge d\bar z^J\\
&:=\partial\omega+\bar\partial\omega\in\Omega^{p+1,q}\otimes\Omega^{(p,q+1)}.
\end{align*}
一般地, 将上式简记为
$$
d=\partial+\bar\partial.
$$

注意到
$$
0=d^2=(\partial+\bar\partial)^2=\partial^2
+(\partial\bar\partial+\bar\partial\partial)
+\bar\partial^2\in
\Omega^{(p+2,q)}\oplus\Omega^{(p+1,q+1)}\oplus\Omega^{(p,q+2)},
$$
故
$$
\partial^2=0=\bar\partial^2=\partial\bar\partial+\bar\partial\partial.
$$
我们将看到, $\bar\partial$在全纯线丛也可定义。

若$\nabla$是全纯线丛$L$上一个联络, $\Theta$是$L$的一个截面。 局部地$\Theta|_{U_\alpha}=\theta_\alpha\otimes s_\alpha$, $\nabla|_{U_\alpha}=d+A_\alpha$, $A_\alpha$是一个复函数值的1形式。则
\begin{align*}
\nabla\Theta&=(d\theta_\alpha+A_\alpha \theta_\alpha)\otimes s_\alpha\\
&=(\partial\theta_\alpha+A_\alpha^{(1,0)}\theta_\alpha)\otimes s_\alpha\\
&\qquad(\bar\partial\theta_\alpha+A_\alpha^{(0,1)}\theta_\alpha)\otimes s_\alpha\\
&:=\nabla’\Theta+\nabla^{\prime\prime}\Theta.
\end{align*}
注意到, $\nabla=\nabla’+\nabla^{\prime\prime}$, 完全仿照$d=\partial +\bar\partial$. 可以知道
$$
\nabla^{‘2}=0=\nabla^{\prime\prime 2}
=\nabla’\nabla^{\prime\prime}+\nabla^{\prime\prime}\nabla’.
$$

现在, 假设$L=(L,\pi,M)$是一个全纯线丛, $s_\alpha$是其局部全纯截面。假设$\Theta\in\Omega^{p,q}(L)$是$L$的一个$(p,q)$形式的截面, 局部地, $\Theta_\alpha:=\Theta|_{U_\alpha}=\theta_\alpha \otimes s_\alpha$, $\theta_\alpha\in \Omega^{(p,q)}(U_\alpha):=\wedge^{(p,q)}T^*U_\alpha$. 定义
$$
\bar\partial\Theta_\alpha:=\bar\partial\Theta|_{U_\alpha}:=\bar\partial\theta_\alpha\otimes s_\alpha\in\Omega^{(p,q+1)}(L|_{U_\alpha}).
$$
注意到$s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_\beta$, 故
$$
\bar\partial\Theta_\alpha=\bar\partial\theta_\alpha\otimes s_\alpha
=\bar\partial(\theta_\alpha)g_{\alpha\beta}s_\beta
=\bar\partial(g_{\alpha\beta}\theta_\alpha)s_\beta
=\bar\partial\theta_\beta s_\beta
=\bar\partial\Theta_\beta,
$$
这里, 我们用到了$g_{\alpha\beta}$是全纯的。 上述计算表明$\bar\partial\Theta$是整体定义的。

Definition 9 (全纯线丛的$\bar\partial$-算子). 上述定义的算子$\bar\partial:\Omega^{(p,q)}(L)\to\Omega^{(p,q+1)}(L)$称为全纯线丛的$\bar\partial$算子。为了强调线丛, 有时也记为$\bar\partial_L$.

Proposition 10 ($\bar\partial_L^2=0$). 假设$\bar\partial_L$是如上定义的全纯线丛$L$上的算子, 则
$$
\bar\partial_L^2=0.
$$

Proof . 由$\bar\partial_L$的局部定义以及$\bar\partial^2=0$即得。

在具有Hermitian度量的全纯线丛上, 可以选择一个典则联络(称为Chern联络).
Theorem 11 (Chern联络的存在唯一性). 假设$(L,\pi,M)$是一个全纯线丛而$h$是$L$上的Hermitian度量(局部可由$U_\alpha\times\mathbb C\subset\mathbb C^{\dim M+1}$上的Hermitian内积给出。利用单位分解我们可以得到一个整体内积)。则存在$L$的唯一一个联络$\nabla$使得
  • $\nabla$和$h$相容。 即对$L$的任何两个截面$s_1,s_2$, 我们有
    $$
    d\inner{s_1,s_2}_h=\inner{\nabla s_1,s_2}_h+\inner{s_1,\nabla s_2}_h.
    $$
  • 和全纯结构相容。即
    $$
    \nabla^{\prime\prime}=\bar\partial_L.
    $$

Proof . 由于$L$是一个线丛, 故局部截面$s_\alpha$即为其局部标架。 $h_\alpha:=h(s_\alpha,s_\alpha)$. 则由度量相容性：
$$
\partial h_\alpha+\bar\partial h_\alpha=dh_\alpha=A_\alpha h_\alpha+\bar h_\alpha A_\alpha.
$$
而由和全纯结构的相容性知：
$$
(A_\alpha^{(1,0)}+A_\alpha^{(0,1)})s_\alpha=A_\alpha s_\alpha=\nabla s_\alpha=\nabla’ s_\alpha+\bar\partial_L s_\alpha=\nabla’s_\alpha=A_\alpha^{(1,0)}s_\alpha,
$$
故$A_\alpha^{(0,1)}=0$且$A_\alpha=A_\alpha^{(1,0)}$。

于是我们得到
$$
\partial h_\alpha+\bar\partial h_\alpha=A_\alpha^{(1,0)}h_\alpha+h_\alpha \overline{A_\alpha^{(1,0)}}\implies \partial h_\alpha =A_\alpha h_\alpha\in \Omega^{(1,0)}(U_\alpha)
$$
即
$$
\partial\ln h_\alpha=A_\alpha,\quad\bar\partial h_\alpha=\bar A_\alpha.
$$
注意, 线丛$A_\alpha$是$U_\alpha$上某个复函数值的1形式, 而由正定性, $h_\alpha$是$U_\alpha$某个大于零的实值函数。故$\bar\partial \ln h_\alpha =\overline{\partial\ln h_\alpha}=\bar A_\alpha$, 即只有一个方程：
$$
A_\alpha=\partial\ln h_\alpha.
$$
可见, 在定理给定的两个条件下, 联络唯一由度量决定。反过来, 可以验证, 局部如上定义的联络满足定理的两个条件。这就完成了证明。


4.1. Hermitian全纯线丛的曲率 假设$\nabla$是Hermitian全纯线丛$L$的Chern联络。由线丛曲率的局部表示：
$$
F_\nabla=dA_\alpha=(\partial+\bar\partial)\partial\ln h_\alpha
=\bar\partial\partial\ln h_\alpha
=-\partial\bar\partial\ln h_\alpha.
$$

回忆, 复线丛$L$上的复结构$J=i=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$(视为实2维空间的复化), 故我们可将$L$的截面按照$J$的特征空间分解为$\Gamma(L)=\Omega^0{L}=\Omega^+(L)\oplus\Omega^-(L):=i\Omega(L)\oplus(-i)\Omega(L)$. 进而类似得到$\Omega^k(L)=\oplus_{i=0^k}\Omega^{(i,k-i)}(L)$. 特别地, 对Chern联络, 我们有$A_\alpha^{(0,1)}=0$. 即$A_\alpha=A_\alpha^{(1,0}\in i\Omega^1$.

现在由于$h_\alpha$是大于零的实函数, 利用Chern联络的度量相容性,
\begin{align*}
0&=d^2\inner{s_\alpha,s_\alpha}=d(\inner{\nabla s_\alpha,s_\alpha}+\inner{s_\alpha,\nabla s_\alpha})\\
&=\inner{D^2s_\alpha,s_\alpha}-\inner{\nabla s_\alpha,\nabla s_\alpha}+\inner{\nabla s_\alpha,\nabla s_\alpha}+\inner{s_\alpha,D^2 s_\alpha}\\
&=\inner{D^2s_\alpha,s_\alpha}+\inner{s_\alpha,D^2 s_\alpha}\\
&=F_\nabla h_\alpha+\bar F_\nabla h_\alpha.
\end{align*}
故我们得到
$$
\bar F=-F,
$$
即对Chern联络, $F_\nabla$是纯虚数值的(1,1)-形式。
5. 线丛的和乐群 假设$\gamma(t):[0,1]\to M$, $p=\gamma(0)$, $q=\gamma(1)$, 是一条连接$p$,$q$的光滑曲线, $\xi_0\in T_pL$。

Definition 12 (平行移动). 定义$\xi_0$沿着曲线$\gamma$关于联络$\nabla$平行移动到$q$的向量为$\xi_1$, 这里$\xi_1=\xi(1)$, 其中$\xi(t)$是沿着$\gamma$的平移向量场, 即满足$\xi(0)=\xi_0$且
$$
\nabla_{\dot\gamma}\xi(t)=0.
$$

可以证明上述平行移动定义的$P_\gamma: T_pL\to T_qL$是一个线性同构。
事实上, 假设$\xi(t)=\xi_\alpha(t)s_\alpha(\gamma(t))$, 则
$$
0=\nabla_{\dot\gamma}\xi(t)=\left(\frac{d\xi^\alpha(t)}{dt}+\xi_\alpha(t)\dot\gamma\cdot A_\alpha(\gamma)\right)s_\alpha\circ\gamma(t).
$$
因此, 我们得到常微分方程组
$$
\frac{d(\xi_\alpha(t))}{dt}=-\dot\gamma\cdot A_\alpha(\gamma)\xi_\alpha.
$$
这里$\dot\gamma\cdot A_\alpha$表示1形式与切向量场的缩并。由常微分方程组的存在唯一性定理, 我们知道,
$$
\xi_\alpha(\gamma(t))=\exp\left(-\int_0^t\dot\gamma\cdot A_\alpha\circ\gamma\right)\xi_\alpha(\gamma(0)).
$$
Definition 13 (和乐群). 定义线丛$L$的联络$\nabla$沿着闭曲线$\gamma$的和乐群$\mathrm{hol}(\gamma,\nabla)$为
$$
P_\gamma(s)=\mathrm{hol}(\gamma,\nabla) s,
$$
其中$s\in T_{\gamma(0)}L$.

由于平行移动保持向量的长度, 故若$L$具有Hermitian度量, 则$\mathrm{hol}(\gamma,\nabla)$是酉群$U(1)$的子群。

由Stocks定理, 我们知道假设闭曲线$\gamma$围成的2维子流形为$\Sigma$, 并令$p=\gamma(0)=\gamma(1)$, $\vec A_\alpha=(A_1,A_2)$, $A_\alpha=\sum_{i=1}^2A_idx^i$, 则
\begin{align*}
\mathrm{hol}(\gamma,\nabla)s&=P_\gamma(s)=\xi_\alpha(\gamma(1))s_\alpha(\gamma(1))\\
&=\exp\left(-\int_0^1\dot\gamma\cdot A_\alpha(\gamma)dt\right)\xi_\alpha(\gamma(0))s_\alpha(\gamma(0))\\
&=\exp\left(-\int_\gamma \vec A_\alpha(\gamma)d\gamma\right)s\\
&=\exp\left(\int_\Sigma \mathrm{div}\vec A_\alpha^\perp dS\right)s\\
&=\exp\left(-\int_\Sigma dA_\alpha dS\right)s\\
&=\exp\left(-\int_\Sigma F_\nabla\right)s.
\end{align*}
这里, 第3行用到了线积分与道路积分的定义. 第4行用到了


取球面的极坐标$(\theta,\phi)\in[0,2\pi)\times[0,\pi)$, 则
$$
\begin{cases}
x=\sin\phi\cos\theta\\
y=\sin\phi\sin\theta\\
z=\cos\phi.
\end{cases}
$$
容易得到坐标曲线的切向量分别为
\begin{align*}
\partial_\theta&=-\sin\phi\sin\theta\partial_x+\sin\phi\cos\theta\partial_y\\
\partial_\phi&=\cos\phi\cos\theta\partial_x+\cos\phi\sin\theta\partial_y-\sin\phi\partial_z.
\end{align*}
因此, 单位法向量为
\begin{align*}
\vec n&=\frac{\partial_\phi\times\partial_\theta}{|\partial_\phi\times\partial_\theta|}\\
&=\sin\phi\cos\theta\partial_x+\sin\phi\sin\theta\partial_y+\cos\phi\partial_z\\
&=\sin\phi\left(\partial_\phi\times\partial_\theta\right).
\end{align*}
为了计算$S^2$的Levi-Civta联络, 回忆, 局部地, 我们可以选择处处非零的坐标切向量场$s$, 使得$\nabla s=As$. 这里$A$是一个复数。 选取经线的切向量场作为蓝色区域的局部截面$s$, 即
$$
s=\partial_\phi,
$$
则将其视为$\mathbb R^3$中的向量$s=(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,-\sin\phi)$. 从而普通外微分得到
\begin{align*}
ds&=(-\sin\phi\cos\theta,-\sin\phi\sin\theta,-\cos\phi)d\phi\\
&\qquad+(-\cos\phi\sin\theta,\cos\phi\cos\theta,0)d\theta.
\end{align*}
故按照子流形诱导联络的基本性质：
\begin{align*}
\nabla s&=(ds)^\top\\
&=ds-\langle ds,\vec n\rangle\vec n\\
&=ds+\vec n\cdot d\phi\\
&=(-\cos\phi\sin\theta,\cos\phi\cos\theta,0)d\theta\\
&=\cos\phi(-\sin\theta,\cos\theta,0)d\theta.
\end{align*}
回忆, 如上构造的Levi-Civita联络$\nabla$保持度量, 故其局部表示$A$是$SO(2)$值的1形式。 从而它是某个旋转, 进而可以表示为$e^{i\tau}$, 对某个角度$\tau\in[0,2\pi)$。 为了看出该旋转, 注意到上述计算表明$\nabla \partial_\phi//\partial_\theta d\theta$。 有注意到$\partial_\phi\perp\partial_\theta$, 故(注意定向)
$$
\sin\phi\cdot\partial_\phi=-e^{i\pi/2}\partial_\theta.
$$
代入得到
$$
\nabla s=\cos\phi/\sin\phi\partial_\theta d\theta
=i\cos\phi\partial_\phi=i\cos\phi d\theta s.
$$
即$A=i\cos\phi d\theta$. 有注意到, 体积元$dv_g=\sin\phi d\phi\wedge d\theta$, 从而
$$
F_\nabla=dA=-i\sin\phi d\phi\wedge d\theta=i\sin\phi d\theta\wedge d\phi
=-i dv_g.
$$
因此, 根据前面曲率与和乐群的计算关系,
\begin{align*}
\mathrm{hol}(\nabla,\gamma)&=\exp\left(-\int_{\Sigma}F_\nabla\right)=\exp\left(\int_{\Sigma}idv_g\right)\\
&=\exp\left(\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_0^{\pi/2}i\sin\phi d\theta d\phi\right)\\
&=\exp\left(-i(\theta_2-\theta_1)\cos\phi|_0^{\pi/2}\right)\\
&=\exp(i(\theta_2-\theta_1)).
\end{align*}
即和乐群的作用相对于将切向量作$\theta_2-\theta_1$的旋转, 这从图中也是容易看出的。
5.1. 和乐群与曲率的关系 假设$X$, $Y$是$M$的两个切向量, 并记$\Sigma_t$为由$X$,$Y$按照测地线张成的边长为$\sqrt t$的曲边平行四边形。 则我们有下列Taylor展开：
$$
\mathrm{hol}(\nabla,\Sigma_t)=1+tF(X,Y)+o(t).
$$
证明可以参考Deane Yang.
6. 陈类 假设$\Sigma$是一个闭曲面, $L$是$\Sigma$上的一个线丛, 而$\nabla$, $\nabla’=\nabla+d\eta$是其上两个联络, 其中$\eta$是整体的1形式。 则$F_{\nabla’}=F_\nabla+d\eta$, 从而由Stokes定理,

$$
\int_{\Sigma}F_{\nabla’}=\int_\Sigma F_\nabla+d\eta
=\int_\Sigma F_\nabla+\int_{\partial\Sigma=\emptyset}\eta
=\int_\Sigma F_\nabla.
$$
这表明, 对闭曲面, 全曲率(即曲率在整个曲面上的积分)不依赖于联络的选择。

下面假设$\Sigma_t$是曲面$\Sigma$上一列半径为$t$的测地圆盘, 并记$\Sigma^c_t=\Sigma\setminus\Sigma_t$, $\gamma=\Sigma_t^c\cap\Sigma_t$. 则按照和乐群与曲率的关系, 我们有(注意定向)
$$
\mathrm{hol}(\nabla,\gamma)=\exp\left(\int_{\Sigma_t}-F_\nabla\right)=\exp\left(\int_{\Sigma^c_t} F_\nabla \right)
$$
故, 令$t\to0$得到
$$
\exp\left(\int_\Sigma F_\nabla\right)=1\implies\int_\Sigma F_\nabla=-2\pi i c(L),\quad c(L)\in\mathbb{Z}.
$$

Definition 14 (陈数). 上述定义的$c(L)$称为线丛的陈数.

Example 6 (球面的陈数). 回忆, 我们已经计算得到$F=-i dv_g$. 故
$$
c(TS^2)=\frac{i}{2\pi}\int_{S^2}-i dv_g=2.
$$