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应用Stokes公式推导Cauchy积分定理

回忆, 单复变中Cauchy积分定理说的是: Theorem 1 (Cauchy integral theorem). 假设 $f$ 是定义在复平面上一单连通开区域 $\Omega$ 上的解析(全纯)函数, 则对任何 $\Omega$ 中的闭曲线 $C$ , $\oint_C f(z)dz=0.$ 我们想要说明, 它其实可以由实分析中的Stokes公式得到.

假设 $(M^m,g)\hookrightarrow(\mathbb R^n,\bar g)$ 是嵌入到欧氏空间中的一个子流形. 又设其局部参数表示为 $X(u^1,\ldots,u^m)=\bigl(x^1(u^1,\ldots,u^m),\ldots,x^n(u^1,\ldots,u^m)\bigr)$ . 有以下两件事情: 首先, $X$ 在局部坐标下可视为 $M\to\mathbb R^n$ 的一个映射, 而 $(M,g)$ 的诱导度量(因为是嵌入)就是 $g=X^*(\bar g)$ 即 $\begin{align*} g_{\alpha\beta}&=g\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right) =X^*(\bar g)\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right) =\bar g\left(\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\\ &=\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\delta_{ij} =\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^i}{\partial u^\beta}. \end{align*}$ 这即是我们常说的第一基本型.

偏微分方程期末试题

若 $\Omega=(0,2)\times(0,2)\subset\mathbb{R}^2$ , $u(x_1,x_2)$ 为如下方程的解(8′)求 $\begin{cases} \Delta u+\lambda u=0, &x\in\Omega\\ u|_{\partial\Omega}=0 \end{cases}$ 的第一、第二特征值以及相应的特征函数.(7′)对哪些 $a$ , 方程 $\begin{cases} \Delta u+\frac{\pi^2}{2}u=x_1-a,&x\in\Omega\\ u|_{\partial\Omega}=0 \end{cases}$ 至少有一解, 说明理由.(10′)设 $u(x,y)$ 为方程 $\begin{cases} \Delta u=x+y,&(x,y)\in B_1(0)\subset\mathbb{R}^2,\\ u|_{\partial B_1(0)}=0 \end{cases}$ 的解, 求 $u(0,0)$ .(15′)设$\Omega=\set{(x_1,x_2)|10 $(例如可取$ C=100 $), 使得 \[ \sup_{B_1(0)}|\nabla u|\leq C\left(\sup_{\partial B_1(0)}|\nabla u|+\sup_{B_1(0)}|u|\right). \](15′)若$ u>0 $, 且$ u\in C^\infty(\overline{B_1(0)}) $为方程$ \Delta u+u=0 $,$ x\in B_1(0) $的解, 求证存在$ C>0 $(例如取$ C=3^{10} $), 使得 \[ \sup_{B_{1/2}(0)}u\leq C\inf_{B_{1/2}(0)}u. \](15′)设$ u(x,t)$为方程 \[ \begin{cases} u_t=u_{xx},&0< x< 1, t >0\\ u|_{x=0}=u|_{x=1}=0,\\ u|_{t=0}=x(1-x),… Continue reading 偏微分方程期末试题

复几何作业

1. 第一次证明全纯函数 $f=u+iv$ 的实部 $u$ 与虚部 $v$ 是调和的.对全纯函数证明极大值原理.假设 $U\subset\mathbb{C}^n$ 是一个开集, 而 $f:U\to\mathbb{C}$ 是全纯的. 证明对 $n\geq2$ , 零点集 $Z(f)$ 不可能是一个单点集. 类似地, 证明对全纯函数 $f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$ , $n\geq2$ 以及 $w=\mathrm{Im}(f)$ , 存在 $z\in f^{-1}(w)$ , 使得 $\|z\|>0$ .令 $\set{f_i}$ 是开集 $U\subset\mathbb{C}^n$ 上列全纯函数, 假设对任何 $V\subset\subset U$ , 有 $f_i$ 在 $V$ 上一致收敛到 $g$ . 证明 $g$ 也是全纯的.令 $f:U\to V$ 是一个全纯映射. 证明自然拉回映照 $f^*:\mathcal{A}^k(V)\to\mathcal{A}^k(U)$ 又到了 $\mathcal{A}^{p,q}(U)$ 到 $\mathcal{A}^{p,q}(V)$ 的映射. 这也表明 $f^*\partial\alpha=\partial f^*\alpha$ , $f^*\bar\partial\alpha=\partial f^*\alpha$ .令 $B\subset\mathbb{C}^n$ 是多圆盘且 $\alpha\in\mathcal{A}^{p,q}$ 是 $d$ -闭的, $p,q\geq1$ . 证明存在 $\gamma\in\mathcal{A}^{p-1,q-1}(B)$ 使得 $\partial\bar\partial\gamma=\alpha$ .

2015年多复变期末作业

叙述并证明Calabi-Yau定理.叙述并证明全纯向量丛上的Hitchin-Kobayashi correspondence.叙述并证明Kodaira消灭定理(Vanishing theorem).叙述并简短证明Kodaira嵌入定理(Embedding theorem).证明下列比较原理(comparison principle): 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{C}^n$ 中的有界区域, 实函数 $u,v\in L^\infty(\Omega)$ 是多重次调和, 且在边界 $\partial\Omega$ 处成立 $(u-v)|_{\partial\Omega}\geq0$ . 如果在 $\Omega$ 上成立 $(\sqrt{-1}\partial\bar\partial u)^n\leq(\sqrt{-1}\partial\bar\partial v)^n$ (current意义下), 则在 $\Omega$ 上必成立 $v\leq u$ .(提示, 可先假设 $u,v$ 二次可微)证明: 紧复流形如果其第一陈类负定, 则其上必不存在非零的全纯向量场.证明Hopf流形上必不存在Kahler度量.

规范变换的垂直变分

假设 $E$ 是一个 $G$ -向量丛(特殊的 $G$ 丛), 我们知道 $E$ 的规范变换丛 $\mathrm{Aut}_GE$ 是在共轭作用 $\begin{align*} G&\to G\\ c_g:a&\mapsto gag^{-1} \end{align*}$ 下 $E$ 的伴丛, 而 $E$ 的李代数丛 $\mathfrak{g}_E$ 是在伴随表示下 $E$ 的伴丛. 现在假设 $S\in\mathrm{Aut}_GE$ 是一个规范变换, 而 $\xi\in\Gamma(\mathfrak{g}_E)$ 是李代数丛的一个截面, 则我们可以定义 $\begin{equation}\label{eq:variation} S(t)=S\exp(t\xi),\quad t\geq0 \end{equation}$ 它是 $S$ 的一个变分, 即 $S(0)=S$ 且 $S(t)\in\Gamma(\mathrm{Aut}_GE)$ .

弱调和映照的欧拉—拉格朗日

1. 弱调和映照假设 $(M,g)$ , $(N,h)$ 是两个黎曼流形, 且 $N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$ . 定义 \[ H^1(M,N):=\left\{ u\in L_{\mathrm{loc}}^1(M,\mathbb{R}^{K+1}):\int_{M}|\nabla u|^2

最近点投射的基本性质

假设 $N$ 是一个光滑流形等距地嵌入到 $\mathbb{R}^K$ , 我们知道存在 $N$ 的管状邻域 $N(\delta)\subset\mathbb{R}^K$ , 使得定义在 $N(\delta)$ 上的映射 $\Pi$ : $\Pi:y\mapsto x\in N,\quad \mathrm{dist}(y,N)=|y-\Pi(y)|.$ 关于 $\Pi$ , 我们有如下基本性质. Proposition 1. 假设 $\Pi$ 定义如上, 则 $D\Pi|_y:\mathbb{R}^K\to T_xN$ , $x=\Pi(y)$ ;对 $v_1,v_2\in T_xN$ , 我们有 $\mathrm{Hess}\Pi|_x(v_1,v_2)=-A(x)(v_1,v_2)$ .

Fernando Coda Marques与Andre Neves 解决Willmore猜想

申明: 本文转自Matheus’ Weblog, 原文题目为The Willmore conjecture after Fernando Coda Marques and Andre Neves, 原文作者:matheuscmss. 先翻译至此, 希望有更多的人感兴趣. 在过去的5个月中, 我很高兴地看到有人宣称解决了数学几个领域中的重要的问题和猜想.例如: Ian Agol 宣称证明了3维拓扑中的 virtual Haken 猜想 (参考 D. Calegari 博客的三篇日志). Fernando Codá Marques and André Neves 宣称证明了 Willmore 猜想 (参考 F.Morgan 的这篇文章—非正式的阐述了这一47年之久的猜想) Alex Eskin, Maxim Kontsevich and Anton Zorich 最近完成了关于Kontsevich-Zorich 闭上链的Lyapunov指数和公式的证明 (该公式由M.Kontsevich于15年前在这篇文章中提出) Alex Eskin and Maryam… Continue reading Fernando Coda Marques与Andre Neves 解决Willmore猜想

关于两个基底的混合积与行列式的关系

我们有如下基本事实: Theorem 1. 假设 $\set{v_1,v_2,\ldots,v_n}$ 和 $w_1,w_2,\ldots,w_n$ 是 $\RR^n$ 中两个基, 定义 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵 $A=\begin{pmatrix}\inner{v_i,w_j}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_1\cdot w_1&v_1\cdot w_2&\cdots&v_1\cdot w_{n-1}\\ v_2\cdot w_1&v_2\cdot w_2&\cdots&v_2\cdot w_{n-1}\\ \vdots &\vdots &&\vdots\\ v_{n-1}\cdot w_1&v_{n-1}\cdot w_2&\cdots&v_{n-1}\cdots w_{n-1} \end{pmatrix},$ 则 $\begin{equation}\label{eq:res} \inner{v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_{n-1},w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\det A. \end{equation}$

Author: vanabel