假设$E$是一个$G$-向量丛(特殊的$G$丛), 我们知道$E$的规范变换丛$\mathrm{Aut}_GE$是在共轭作用
\begin{align*}
G&\to G\\
c_g:a&\mapsto gag^{-1}
\end{align*}
下$E$的伴丛, 而$E$的李代数丛$\mathfrak{g}_E$是在伴随表示下$E$的伴丛. 现在假设$S\in\mathrm{Aut}_GE$是一个规范变换, 而$\xi\in\Gamma(\mathfrak{g}_E)$是李代数丛的一个截面, 则我们可以定义
\begin{equation}\label{eq:variation}
S(t)=S\exp(t\xi),\quad t\geq0
\end{equation}
它是$S$的一个变分, 即$S(0)=S$且$S(t)\in\Gamma(\mathrm{Aut}_GE)$.
事实上, 假设在$\mathrm{Aut}_GE$的局部平凡化$\left\{(\Phi_\alpha,U_\alpha)\right\}$下, $S$局部表示为$(x,s_\alpha)$. 即$S|_{U_\alpha}=\Phi_\alpha^{-1}(x,s_\alpha)$. 我们记在该局部平凡化下其转移函数为$\phi_{\alpha\beta}$, 则按照转移函数的定义
$$
\Phi_\beta^{-1}(x,s_\beta)=S|_{U_\beta}=S|_{U_\alpha}=\Phi_\alpha^{-1}(x,s_\alpha)
$$
这表明
$$
s_\beta=\Phi_{\beta\alpha}(x)(s_\alpha)=\phi_{\beta\alpha}(x)\cdot s_\alpha.
$$
为了方便起见, 我们记$\phi_{\beta\alpha}=a\in G$, 这里$\cdot$表示群作用, 即$a\cdot s_\alpha=as_\alpha a^{-1}$.
完全类似地, 我们可以得到对李代数丛$\mathfrak{g}_E$, 在其局部平凡化$\left\{(\Psi_\alpha,V_\alpha)\right\}$下, 若记其转移函数为$\psi_{\alpha\beta}$, 则对$\xi$在$V_\alpha$上的局部表示$(x,v_\alpha)$, 我们有
$$
v_\beta=\psi_{\beta\alpha}\cdot v_\alpha.
$$
为方便起见, 我们记$\psi_{\beta\alpha}=b$(其实, 它等于$\phi_{\beta\alpha}=a$, 因为他们都是$E$的配丛, 从而具有相同的转移函数(这里由从转移函数构造配丛知$V_\alpha$也可取成$U_\alpha$)). 注意到这里的群作用是伴随作用, 即
$$
b\cdot v_\alpha=\left.\frac{d}{dt}\right\rvert_{t=0}b\exp(tv_\alpha)b^{-1}=bv_\alpha b^{-1}.
$$
最后一个等式中的乘法是矩阵的乘法.
下面, 为了验证\eqref{eq:variation}定义良好, 我们只需在局部平凡化下定义, 并证明该定义域局部平凡化的选择无关即可.
事实上, 假设$u_\alpha=\exp(v_\alpha)$, 则\eqref{eq:variation}局部定义为
$$
S\exp(t\xi)|_{U_\alpha}=\Phi_{\alpha}^{-1}(x,s_\alpha\exp(tv_\alpha)).
$$
因此, 我们需要证明
$$
s_\beta\exp(tv_\beta)=\phi_{\beta\alpha}\cdot s_\alpha\exp(tv_\alpha)
=a s_\alpha\exp(tv_\alpha)a^{-1}.
$$
利用矩阵指数的基本事实, 直接计算知
\begin{align*}
s_\beta\exp(tv_\beta)&=as_\alpha a^{-1}\exp(tbv_\alpha b^{-1})\\
&=as_\alpha a^{-1}b\exp(tv_\alpha)b^{-1}\\
&=as_\alpha\exp(tv_\alpha)a^{-1}.
\end{align*}
最后一步我们用了$b=a$.