复几何作业

1. 第一次

1. 证明全纯函数$f=u+iv$的实部$u$与虚部$v$是调和的.
2. 对全纯函数证明极大值原理.
3. 假设$U\subset\mathbb{C}^n$是一个开集, 而$f:U\to\mathbb{C}$是全纯的. 证明对$n\geq2$, 零点集$Z(f)$不可能是一个单点集. 类似地, 证明对全纯函数$f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq2$以及$w=\mathrm{Im}(f)$, 存在$z\in f^{-1}(w)$, 使得$\|z\|>0$.
4. 令$\set{f_i}$是开集$U\subset\mathbb{C}^n$上列全纯函数, 假设对任何$V\subset\subset U$, 有$f_i$在$V$上一致收敛到$g$. 证明$g$也是全纯的.
5. 令$f:U\to V$是一个全纯映射. 证明自然拉回映照$f^*:\mathcal{A}^k(V)\to\mathcal{A}^k(U)$又到了$\mathcal{A}^{p,q}(U)$到$\mathcal{A}^{p,q}(V)$的映射. 这也表明$f^*\partial\alpha=\partial f^*\alpha$, $f^*\bar\partial\alpha=\partial f^*\alpha$.
6. 令$B\subset\mathbb{C}^n$是多圆盘且$\alpha\in\mathcal{A}^{p,q}$是$d$-闭的, $p,q\geq1$. 证明存在$\gamma\in\mathcal{A}^{p-1,q-1}(B)$使得$\partial\bar\partial\gamma=\alpha$.

1. 令$(M,J)$是复流形且$X$是$M$上一个向量场. 证明, 对任何向量场$Y$成立$[X,JY]=J[X,Y]$当且仅当$X^{1,0}=\frac{1}{2}(X-\sqrt{-1}JX)$是全纯的.
2. 令$M$是$2n$维的光滑流形, 且具有复结构$J$. 证明$J$的绕率(torsion)定义为
   $$
   \tau(X,Y)=[JX,JY]-[X,Y]-J[X,JY]-J[JX,Y].
   $$
   证明
   1. $\tau$是一个张量.
   2. $\tau(X,Y)=-\tau(Y,X)$, $\tau(JX,Y)=-J\tau(Y,X)$.
   3. 如果$n=1$, 则$\tau=0$, 从而由Newlander-Nirenberg定理知$J$是可积的.
      
      Remark 1. 由于在任何可定向二维黎曼流形$(\Sigma,g)$上, 我们可以定义$J$为逆时针旋转$\pi/2$, 因此$\Sigma$是一个黎曼面.
      
   4. 证明任何从$\mathbb{P}^n$出发到复环面的全纯映射, 若$n=1$都是常值的. 若$n>1$又如何?
   5. 证明P65页的问题2.1.12.
   6. 假设等温坐标系(isothermal coordinate)的存在性, 证明任何可定向2维黎曼流形自然是复1维的复流形(即黎曼面).
   7. 假设$\Sigma$是黎曼面. 证明$\Sigma$上的一个亚纯函数定义了从$\Sigma$到$\mathbb{P}^1$的全纯映照, 反之亦然.

3. 第三次

1. 用Newlander-Nirenberg定理证明问题2.6.10.
2. 证明问题3.1.2, 3.1.4, 3.1.6, 3.1.12, 3.2.6, 3.2.16.
3. 令$\theta$是紧黎曼面$\Sigma$上的亚纯1-形式. 对任何的$p\in\Sigma$, 定义$\theta$在$p$处的留数(residue)为
   \[
   \mathrm{res}(\theta;p)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\gamma}\theta,
   \]
   其中$\gamma$是$p$处一个逆时针定向的闭曲线. 证明它是良定的且
   \[
   \sum_{p\in\Sigma}\mathrm{res}(\theta;p)=0.
   \]
4. 考察$\mathbb{C}$上的亚纯1-形式$\frac{z^3}{1+z^2}dz$. 它是否定义了黎曼球$\hat{\mathbb{C}}$上的亚纯1-形式? 如果是, 找出其所有零点与极点以及它们在$\hat{\mathbb{C}}$上的留数.
5. 考察代数曲面$\Sigma\subset\mathbb{P}^2$:
   \[
   z_2^2z_0=4z_1^3+az_1z_0^2+bz_0^3.
   \]
   1. 已知$\Sigma$是连通的, 在$a,b$满足什么条件下, $\Sigma$是连通的?
   2. 假设$a,b$满足如上条件. 我们定义两个亚纯函数$f=z_1/z_0$以及$g=z_2/z_0$. 求它们的零点与极点(包括重数).
   3. 考察亚纯微分$\theta=df/g$. 求它的零点与极点.
   4. 你可以描述$\Sigma$上所有亚纯微分所成的空间吗? $\Sigma$的亏格为多少?