Hessian – MathRlife

Van Abel December 13, 2017MATHBochner公式, Hessian, Ricci恒等式 Leave a comment

黎曼流形上函数的Bochner公式

Bochner公式给出了黎曼流形上函数的Laplace与曲率之间的关系。 Theorem 1 (Bochner公式). 假设$u$是黎曼流形$M$上一个光滑函数, $v=\frac{1}{2}|\nabla u|^2$, 则有 $$ \Delta v=\mathrm{Ric}(\nabla u,\nabla u)+\langle\nabla u,\nabla\Delta u\rangle+|\mathrm{Hess}_u|^2. $$

Van Abel December 13, 2016MATHHessian, 最近点投射, 第二基本型 Leave a comment

最近点投射的基本性质

假设$N$是一个光滑流形等距地嵌入到$\mathbb{R}^K$, 我们知道存在$N$的管状邻域$N(\delta)\subset\mathbb{R}^K$, 使得定义在$N(\delta)$上的映射$\Pi$: \[ \Pi:y\mapsto x\in N,\quad \mathrm{dist}(y,N)=|y-\Pi(y)|. \] 关于$\Pi$, 我们有如下基本性质. Proposition 1. 假设$\Pi$定义如上, 则 $D\Pi|_y:\mathbb{R}^K\to T_xN$, $x=\Pi(y)$;对$v_1,v_2\in T_xN$, 我们有$\mathrm{Hess}\Pi|_x(v_1,v_2)=-A(x)(v_1,v_2)$.