Author Van Abel Posted on March 1, 2019Categories MATHTags ,   Leave a comment on α调和映照方程的基本计算

α调和映照方程的基本计算

假设$F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}$, 则容易知道α调和映照的方程为 $$ \mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0. $$ 其中, $h_{ab}$是靶流形$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$的度量, 而$\Gamma_{ab}^c$为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为$u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a$. 直接展开知道 $$ Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0. $$

Author Van Abel Posted on March 2, 2017Categories MATHTags ,   Leave a comment on 关于欧式空间中子流形计算的一个注记

关于欧式空间中子流形计算的一个注记

假设$(M^m,g)\hookrightarrow(\mathbb R^n,\bar g)$是嵌入到欧氏空间中的一个子流形. 又设其局部参数表示为$X(u^1,\ldots,u^m)=\bigl(x^1(u^1,\ldots,u^m),\ldots,x^n(u^1,\ldots,u^m)\bigr)$. 有以下两件事情: 首先, $X$在局部坐标下可视为$M\to\mathbb R^n$的一个映射, 而$(M,g)$的诱导度量(因为是嵌入)就是 $$ g=X^*(\bar g) $$ 即 \begin{align*} g_{\alpha\beta}&=g\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right) =X^*(\bar g)\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right) =\bar g\left(\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\\ &=\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\delta_{ij} =\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^i}{\partial u^\beta}. \end{align*} 这即是我们常说的第一基本型.