假设$(M^m,g)\hookrightarrow(\mathbb R^n,\bar g)$是嵌入到欧氏空间中的一个子流形. 又设其局部参数表示为$X(u^1,\ldots,u^m)=\bigl(x^1(u^1,\ldots,u^m),\ldots,x^n(u^1,\ldots,u^m)\bigr)$. 有以下两件事情:
首先, $X$在局部坐标下可视为$M\to\mathbb R^n$的一个映射, 而$(M,g)$的诱导度量(因为是嵌入)就是
$$
g=X^*(\bar g)
$$
即
\begin{align*}
g_{\alpha\beta}&=g\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right)
=X^*(\bar g)\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right)
=\bar g\left(\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\\
&=\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\delta_{ij}
=\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^i}{\partial u^\beta}.
\end{align*}
这即是我们常说的第一基本型.
其次, 若$f$是定义在$M$上的一个函数, 则在局部参数化下,
$$
\frac{\partial}{\partial u^\alpha}.f:=\frac{\partial (f\circ X)}{\partial u^\alpha}
=\frac{\partial f}{\partial x^k}\frac{\partial X^k}{\partial u^\alpha}
=\frac{\partial X^k}{\partial u^\alpha}\frac{\partial}{\partial x^k}.f.
$$
这里需要注意, 两个$f$的含义稍有不同, 在上式定义的左边, $f$是只定义在$M$上的函数, 一般而言它在$\mathbb R^n$中不一定有定义. 在定义的右边, 我们将$f$(例如常值)延拓到$M$在$\mathbb R^n$中的一个邻域. 从而可以利用其在$\mathbb R^n$中的导数$\frac{\partial f}{\partial x^k}$来计算其在流形上的导数.
最后, 注意到$\left\{\frac{\partial}{\partial x^k}\right\}_{k=1}^n$恰好组成了$\mathbb R^n$中的标准正交基, 习惯上我们将其等同于0和1组成的标准基. 故采用分量的写法, 我们可由上面这种看法得到
$$
\frac{\partial }{\partial u^\alpha}\sim\frac{\partial X}{\partial u^\alpha}.
$$
这在子流形的计算中是一个常用的约定. 我们在具体的解读时完全可以按照上面的定义来即可.
特别地,
$$
\nabla f=g^{\alpha\beta}\frac{\partial f}{\partial u^\alpha}\frac{\partial}{\partial u^\beta}\sim g^{\alpha\beta}\frac{\partial f}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X}{\partial u^\beta},
$$
从而
\begin{align*}
g\left(\frac{\partial }{\partial u^\gamma},\nabla f\right)
&\sim \bar g\left(\frac{\partial X}{\partial u^\gamma}, g^{\alpha\beta}\frac{\partial f}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X}{\partial u^\beta}\right)\\
&=\frac{\partial X^i}{\partial u^\gamma}g^{\alpha\beta}\frac{\partial f}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^i}{\partial u^\beta}
=g_{\gamma\beta}g^{\alpha\beta}\frac{\partial f}{\partial u^\alpha}
=\frac{\partial f}{\partial u^\gamma}.
\end{align*}