Fernando Coda Marques与Andre Neves 解决Willmore猜想

申明: 本文转自Matheus’ Weblog, 原文题目为The Willmore conjecture after Fernando Coda Marques and Andre Neves, 原文作者:matheuscmss. 先翻译至此, 希望有更多的人感兴趣.

在过去的5个月中, 我很高兴地看到有人宣称解决了数学几个领域中的重要的问题和猜想.例如:

1. Ian Agol 宣称证明了3维拓扑中的 virtual Haken 猜想 (参考 D. Calegari 博客的三篇日志).
   
2. Fernando Codá Marques and André Neves 宣称证明了 Willmore 猜想 (参考 F.Morgan 的这篇文章—非正式的阐述了这一47年之久的猜想)
   
3. Alex Eskin, Maxim Kontsevich and Anton Zorich 最近完成了关于Kontsevich-Zorich 闭上链 的Lyapunov指数和公式的证明 (该公式由M.Kontsevich于15年前在这篇文章中提出)
   
4. Alex Eskin and Maryam Mirzakhani最近宣称证明了Abel微分构成的模空间(非齐次)中的一个 Ratner型定理(不变测度的分类).

下面我将在本博客中写一些日志来对前面提到的后三项作些注记. 更确切的说, 今天的这篇日志将完全用来说明由Fernado 和 André (这里我将用名字来称呼他们, 因为我认为他们会不介意) 解决的Willomroe猜想. 而后, 将在另(一篇?)日志中讨论Alex, Anton 和 M. Kontsevich 关于Kontsevich-Zorich 闭上链的Lyapunov 指数和的文章. 最后, 我将完成这一”系列”日志, 并用(几篇?)日志来完成Alex 和 M.Mirzakhani证明的Ratner-型定理, 这些日志将基于前几周Alex在Luminy/Marseille授课的笔记(由我记录).

在转入正题之前, 先让我作一些申明和评论. 首先, 写作今天这篇日志之所以被极大地简化了, 是由于Fernado和André在他们文章的第二节对其证明思想写了一个非常清晰的大纲. 特别是, 今天我将跟随着他们的大纲, 但同时请注意, 我可能在这个过程中犯一些错误 (当然, 这样的错误应该由我一人承担). 第二, 第三条的文章将是Pascal Hubert于2012年10月在布尔巴基研讨班(Séminaire Bourbaki)的报告主题. 特别是, 他将为此写一个严格的讲义, 于是我关于这个主题的日志应当被视为Pascal笔记的非正式版本. 最后, 关于上面提到的第四条, Alex Eskin在他的主页(参考Contents
Contents
 1.  引言
 2.  定理3的证明策略
   2.1.  极小—极大理论的典型例子
   2.2.  典则曲面簇
   2.3.  爆破处理
   2.4.  $\Sigma\subset S^3$的极小极大同伦簇

1. 引言 假设 $\widetilde{\Sigma}\hookrightarrow\mathbb{R}^3$ 是 ${\mathbb{R}^3}$ 一个闭的(即紧致且无边界)浸入曲面. 在 ${\widetilde{\Sigma}}$ 的所有比较简单的几何不变量中, 我们可以选取(每点 ${p\in\widetilde{\Sigma}}$ 的)高斯曲率 ${\widetilde{K}=\widetilde{K}(p)}$ 以及平均曲率 ${\widetilde{H}=\widetilde{H}(p)}$, 他们是所谓的第二基本型 ${\widetilde{A}=\widetilde{A}(p):T_p\widetilde{\Sigma}\rightarrow T_p\widetilde{\Sigma}}$ 的行列式(determinant)和迹(trace) (一个 ${2\times2}$ 的线性变换/矩阵的特征值是 ${\widetilde{\Sigma}}$ 在 $p$ 点的主曲率(principal curvatures)). 关于这些概念的阐述, 一本非常好的参考书是 M. do Carmo 的经典著作: 曲线与曲面的微分几何(Differential geometry of curves and surfaces).
用这种(微分几何的)语言, Willmore 能量(Willmore Energy) ${\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})}$ 定义为
\[
\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma}) = \int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{H}^2\,d\widetilde{\Sigma}
\]
其中 ${d\widetilde{\Sigma}}$ 是 ${\widetilde{\Sigma}}$ 的面积元.
Willmore 能量自然的出现在某些物理(在弹性壳(elastic shells))和生物(细胞膜(cell membranes))的研究中, 在那里, 有时也被称为扭曲能量(bending energy).
在数学中, 我们知道它在 ${\mathbb{R}^3}$中的共形变换下是不变的(参考 W. Blaschke), 而且它有一个非常自然的几何(变分)结构,即在所有浸入闭曲面 ${\widetilde{\Sigma}\hookrightarrow\mathbb{R}^{3}}$ 中他何时达到最小?
这里, 可以证明对所有浸入闭曲面 ${\widetilde{\Sigma}\hookrightarrow\mathbb{R}^3}$, 有
\[
\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})\geq 4\pi = \widetilde{\mathcal{W}}(S^2(r))
\]
其中, ${S^2(r)\subset\mathbb{R}^3}$ 是半径为 ${r>0}$ 的 (??标准球面, 原文这里缺失). 而且 ${\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})= 4\pi}$ 当且仅当 ${\widetilde{\Sigma}}$ 是一个球面(标准球面, 非拓扑球面). 换言之, 在 ${\mathbb{R}^3}$ 中的标准球是在所有浸入闭曲面中使Willmore能量极小者. 事实上, 这一事实的证明并不困难:

• 记 ${k_1\geq k_2}$ 为曲面的主曲率, 回忆平均曲率是${\widetilde{H}=(k_1+k_2)/2}$, 而高斯曲率是 ${\widetilde{K}=k_1k_2}$. 利用恒等式 ${(k_1+k_2)^2=(k_1-k_2)^2+4k_1k_2}$, 有
  \[
  \widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})=\int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{H}^2\,d\widetilde{\Sigma} = \frac{1}{4}\int_{\widetilde{\Sigma}} (k_1-k_2)^2\,d\widetilde{\Sigma}+\int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}\geq \int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}
  \]
  另一方面, 由高斯-博内定理(Gauss-Bonnet theorem), ${\int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}=2\pi\chi(\widetilde{\Sigma})}$. 因此, 假设 ${\widetilde{\Sigma}}$ 是拓扑球面, 即它的亏格 $g=0$, 从而欧拉示性数为 ${\chi(\widetilde{\Sigma})=2-2g=2}$, 我们可以得到
  \[
  \widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})\geq \int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}=4\pi
  \]
  而且等号成立当且仅当
  \[
  \frac{1}{4}\int_{\widetilde{\Sigma}} (k_1-k_2)^2\,d\widetilde{\Sigma}=0
  \]
  即 ${k_1=k_2}$ 对 ${\widetilde{\Sigma}}$ 上所有点都成立. 即, 所有点都是平点, 这样就说明 ${\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})=4\pi}$ 成立当且仅当 ${\widetilde{\Sigma}}$ 是个标准球.
• 一般地(即, 当 ${\widetilde{\Sigma}}$ 的亏格 $g\geq1$ 时), 前面的计算不再有效, 因为 ${\int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}=2\pi\chi(\widetilde{\Sigma})=2\pi(2-2g)\leq 0}$, 即依赖于高斯-博内定理而得到 ${\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})\geq \int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}}$ 的估计, 比平凡的界 ${\widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})= \int_{\widetilde{\Sigma}} H^2\,d\widetilde{\Sigma}\geq0}$ 要弱. 然而我们可以取而代之用 Chern-Lashof 不等式
  \[
  \int_{\widetilde{\Sigma}} |\widetilde{K}|\,d\widetilde{\Sigma}\geq 2\pi(2+2g)
  \]
  来克服这点: 事实上, 若记 ${a:=\int_{\{\widetilde{K}>0\}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}}$ 和 ${b:=\int_{\{\widetilde{K}\leq0\}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}}$, 则我们有
  \[a+b=\int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma}=(2-2g)2\pi
  \]
  以及
  \[
  a-b=\int_{\widetilde{\Sigma}} |\widetilde{K}|\,d\widetilde{\Sigma}\geq 2\pi(2+2g)
  \]
  于是 ${a\geq 4\pi}$. 现在, 我们对区域 ${\{\widetilde{K}>0\}}$ 可以用 ${(k_1+k_2)^2=(k_1-k_2)^2+4k_1k_2}$ 得到
  \[
  4\pi\leq a\leq \int_{\{\widetilde{K}>0\}} \widetilde{K}\,d\widetilde{\Sigma} + \frac{1}{4}\int_{\{\widetilde{K}>0\}} (k_1-k_2)^2\,d\widetilde{\Sigma}\leq \widetilde{\mathcal{W}}(\widetilde{\Sigma})
  \]

Theorem 1 (Willmore 猜想, (1965)). 对所有的浸入环面${\widetilde{\Sigma}\hookrightarrow\mathbb{R}^3}$, 都有
\[{\widetilde{W}(\widetilde{\Sigma})\geq 2\pi^2(>4\pi)}.\]
对旋转环面 ${\widetilde{\Sigma}_c}$ 等式 ${\widetilde{W}(\widetilde{\Sigma}_c)=2\pi^2}$ 成立, 这个环面由一个半径为 $1$, 其中心离轴向(z轴)距离为 ${\sqrt{2}}$ 的圆绕 z轴 旋转而得. 其方程可以写成:
\[
(u,v)\mapsto ((\sqrt{2}+\cos u)\cos v, (\sqrt{2}+\cos u) \sin v, \sin u)\in\mathbb{R}^3.
\]

关于等号取得时的这个环面, 可以参考P.Nylander的一篇日志, 那里有它的一个准确图形.

Hopf Fiberation

这个旋转环面${\widetilde{\Sigma}_c}$是Clifford环面${\Sigma_c=S^1(1/\sqrt{2})\times S^1(1/\sqrt{2})\subset S^3}$在球极投影${\pi:S^3-\{(0,0,0,1)\}\rightarrow\mathbb{R}^3}$下的像, 即, ${\widetilde{\Sigma}_c=\pi(\Sigma_c)}$.

更一般地, Willmore猜想可以视为关于通过球极投影$\pi$而浸入(immersed)到$S^3$的闭曲面的一个问题. 事实上, 给定${\Sigma\subset S^3}$, 通过令 ${\widetilde{\Sigma}=\pi(\Sigma)}$, 我们有
\[
\widetilde{W}(\widetilde{\Sigma}) = \int_{\widetilde{\Sigma}} \widetilde{H}^2\,d\widetilde{\Sigma} = \int_{\Sigma}(1+H^2)\,d\Sigma:=\mathcal{W}(\Sigma)
\]
其中, $H$ 是${\Sigma\subset S^3}$的平均曲率. 因此, 极小化${\mathcal{W}(\widetilde{\Sigma})}$等价于极小化${\mathcal{W}(\Sigma)}$. 正因为如此, 我们也将${\mathcal{W}(\Sigma)}$称为${\Sigma\subset S^3}$的Willmore能量(泛函).

尽管这个看法看似很平凡, 但是他却表明了一个极有意义的事实:Willmore猜想是一个变分(极小化)问题. 例如, 我们考虑一列曲面$M_i$收敛于Willmore能量的下确界, 并通过沿着这列$M_i$取某种”极限”而构造一个曲面$M$极小化Willmore能量, 那么${M_i\subset S^3}$就比${M_i\subset\mathbb{R}^3}$好, 因为 $S^3$是紧致的, 而${\mathbb{R}^3}$并不是紧致的.

关于Willmore猜想, 我们已经有些已知的结果:

1. P.Li 和 S.-T. Yau[4] 证明如果一个浸入${f:\Sigma\rightarrow S^3}$ 覆盖某个点 ${x\in S^3}$ 至少 ${k\geq 1}$ 次, 那么${\mathcal{W}(\Sigma)\geq 4\pi k}$. 特别地, 如果$\Sigma$是一个浸入而非嵌入曲面(即 $k > 1$ 在某点$x\in S^3$), 那么 ${\mathcal{W}(\Sigma)\geq 8\pi>2\pi^2}$. 换言之, 我们只需要对嵌入曲面${\Sigma\hookrightarrow S^3}$估计${\mathcal{W}(\Sigma)}$;
2. L. Simon[9] 证明存在一个环面极小化Willmore能量泛函(而后, 这个结果被M. Bauer和E.Kuwert[1]推广到高亏格情形);
3. Willmore能量泛函${\mathcal{W}}$的临界点$\Sigma$称为Willmore曲面, 这个泛函的Euler-Lagrange方程是
   \[
   \Delta H + 2(H^2-K)H=0
   \]
   其中$\Delta$是$\Sigma$上的拉普拉斯(Laplacian), $K$是曲面$\Sigma$的高斯曲率. 从这个方程(有时称之为Willmore方程), 我们看到$S^3$中的极小曲面(参考B. Lawson[3]在这篇文章中构造的例子), 即${H\equiv 0}$, 是Willmore曲面, 但是并不是所有的Willmore曲面都是如此(参考R. Bryant[2], U.Pinkall[6]的文章). 关于Willmore方程分析方面更多的信息, 请参考T. Rivière 的文章[7].

在最近一篇突破性的文章中, Fernando Codá Marques 和 André Neves 证明了如下定理:

Theorem 2 (F. C. Marques and A. Neves). 假设$ {\Sigma\hookrightarrow S^3} $是一个亏格${g\geq 1}$的嵌入闭曲面, 那么
\[
\mathcal{W}(\Sigma)\geq 2\pi^2.
\]
而且, ${\mathcal{W}(\Sigma)=2\pi^2}$当且仅当$\Sigma$和Clifford环面 ${\Sigma_c}$共形.

由上面Li-Yau的结果, 这个深刻的结果蕴含WIllmore猜想成立.

关于Theorem 2的证明, Fernando 和 André 首先利用极小-极大定理(参考下面的Theorem 3)把一般情形下的$\Sigma$化归为极小曲面${\Sigma}$.

Remark 1. 这里, 在$0$-次逼近中, 这个化归背后的”原理”是Willmore能量
\[
\mathcal{W}(\Sigma)=\int_{\Sigma}(1+H^2)\,d\Sigma = \int_{\Sigma}1 \,d\Sigma=\textrm{area}(\Sigma)
\]
在$\Sigma$是极小曲面时与面积泛函一致, 而极小曲面的面积泛函的研究是微分几何中一个经典的课题.

粗略来说, 给定一个一般的嵌入闭曲面${\Sigma\subset S^3}$, 其亏格${g\geq 1}$, 他们考虑它的”极小-极大同伦类”(min-max homotopy class)$\pi$以及对应的宽度(width)$L(\pi)$. 非正式地说, 对紧致3维流形$M^3$中一个2-维曲面, 我们可以描述它的一般同伦类(general homotopy classes)以及它们的宽度如下:
给定${n\geq 1}$, 令${I^n=[0,1]^n} $是${\mathbb{R}^n}$中的单位方体, 令$\Phi$是一个定义在$I^n$上的(连续)映射, 使得对每点$x\in I^n$, ${\Phi(x)}$是$M^3$中一个紧致无边曲面. 我们称两个这样的映射$\Phi_0$和$\Phi_1$是同伦的(相对于$\partial I^n$)如果存在一个定义在$I^{n+1}=I\times I^n$上的连续映射$\Psi$, 使得

1. 对所有的${y=(t,x)\in I^{n+1}=I\times I^n}$, ${\Psi(y)}$是$M^3$的一个紧致无边曲面;
2. 对所有的$x\in I^n$有 ${\Psi(0,x)=\Phi_0(x)}$以及${\Psi(1,x)=\Phi_1(x)}$;
3. 对所有的${t\in I}, {x\in\partial I^n}$, 有${\Psi(t,x)=\Phi_0(x)=\Phi_1(x)}$.

在如下的两个图中, 我们演示了低维情形下同伦的概念, 即 $M=S^2$(而不是一个三维流形)以及映射$\Phi$取值于曲线(而不是曲面). 在第一个图中, 我们取$n=0$, 因此 $I^0=\set{0}$, 我们分别用绿线和红线表示$I^0$在映射$\Phi_0$和$\Phi_1$下的像. 而在第二个图中, 我们令$n=1$, 于是$I^1=I$, 同样$\Phi_0$和$\Phi_1$的像用绿色和红色区分. 而$\partial I$的边界是两条平凡(离散)”曲线”, 对应于$S^2$的北极点和南极点.

从 $I^0=\set{0}$到$S^2$上曲线的两个映射${\Phi_0}$和${\Phi_1}$

从 $I^1=I$到$S^2$上曲线的两个映射${\Phi_0}$和${\Phi_1}$, 这里, 同伦相对于边界$\partial I=\{0,1\}$(它的像在$\Phi_0$和$\Phi_1$下是两条退化的曲线N和S)

$\Phi_0$的同伦类$\Pi$是所有同伦于$\Phi_0$的$\Phi_1$所成之集合, 而$\Pi$的宽度$L(\Pi)$是
\[
L(\Pi) = \inf\limits_{\Phi_1\in\Pi}\sup\limits_{x\in I^n} \textrm{area}(\Phi_1(x))
\]

Remark 2. 在Fernando 和 André文章中, 同伦类(以及他们的宽度)的正式定义依赖于一些几何测度论的概念, 例如(积分)流(integral currents), 变层(varifolds), 以及积分流中的平坦度量和平坦拓扑(基于(mass)的概念). 特别地, 上面提到的映射$\Phi$将每一个$x\in I^n$与一个没有边界的积分流$\Phi(x)$对应, 而且假设$\Phi$在平坦拓扑下是连续的. 类似地, 同伦$\Psi$在质量拓扑(mass topology)下也是连续的. 详情请参考 Fernando 和 André[5]的第4, 7节.

Example 1. 对${s\in I=[0,1]}$, ${\Phi_{(0)}(s):=\{x_4=2s-1\}\subset S^3}$的$\Pi_0$同伦类(粗略地可看成上面第二个图中蓝圆圈所对应的曲线簇), 可以证明(直观地)${L(\Pi_0)=4\pi}$.

Remark 3. 从某种意义上说, 上例中的同伦类$\Pi_0$可以看成同伦群${\pi_1(\mathcal{S},0)}$中的一个元素, 其中$\mathcal{S}$是$S^3$中全体曲面组成的空间, 而${0}$ 是平凡曲面(面积为零).

在$\Sigma$是嵌入到$S^3$中亏格为$g\geq1$的闭曲面的情形, Fernando和André关联了某个5-维极小-极大同伦类$\Pi$(即, 他们考虑了关于$\Sigma$的某个定义在$I^5$上的同伦类$\Pi$)他们证明如下的极小-极大定理(min-max Theorem):

Theorem 3 (F. C. Marques, A. Neves). 令$\Sigma\subset S^3$是一个亏格为$g\geq1$的嵌入闭曲面. 则存在一个极小嵌入曲面${\widehat{\Sigma}\subset S^3}$其亏格$g\geq1$(可能不是连通的, 而且可能有重数(multiplicities))使得
\[
4\pi< \textrm{area}(\widehat{\Sigma})=L(\Pi)\leq\mathcal{W}(\Sigma)
\]
其中$\Pi$是$\Sigma$的极小-极大同伦类(min-max homotopy class of ${\Sigma}$).

正如我们已经提到的, 这就使得他们可以将thm2关于一般${\Sigma\subset S^3}$的证明划归为对极小曲面${\widehat{\Sigma}\subset S^3}$面积的研究. 这里, Fernando和André证明了

Theorem 4 (F. C. Marques,A. Neves). 令${\widehat{\Sigma}\subset S^3}$是一个亏格$g\geq1$的嵌入、闭、极小曲面. 则
\[
\textrm{area}(\widehat{\Sigma})\geq 2\pi^2.
\]
而且${\textrm{area}(\widehat{\Sigma})=2\pi^2}$成立, 当且仅当${\widehat{\Sigma}}$和Clifford环面${\Sigma_c}$等距.

当然, 利用Theorem 3和Theorem 4, Theorem 2中的不等式${\mathcal{W}(\Sigma)\geq 2\pi^2}$”几乎”成立. 事实上, 我们说”几乎”, 是因为如果亏格$g\geq1$的极小曲面${\widehat{\Sigma}}$是连通的, 而且重数为1, 那么就可以得到1. 当然, 这在一般情形不一定正确, 但是, 我们将在这篇日志的结尾处看到, 2可以很容易地从3和4推出. 但同时, ${\mathcal{W}(\Sigma)=2\pi^2}$可以表征Clifford环面$\Sigma_c$并不是像上面叙述的那样可以作为3和4的直接推论, 尽管如此, 我们将看到它其实是蕴含在这些定理的证明之中.

在任何情况下, 在讲完这些有Fernando 和 André得到的主要结果的亮点之后, 我们转入对2, 3和4的证明的一般策略的描述(请同时参考他们文章的第2节).
2. 定理3的证明策略 Fernando与André文章的很大一部分都用来构造Almgren-Pitts的极小—极大理论, 其目的是使得某个同伦类的宽度可以由极小曲面的面积表示. 在接下来的一小节, 我们叙述了这个极小极大理论的一个典型情况.
2.1. 极小—极大理论的典型例子 令 ${M=M^3}$ 是紧致3维流形$\Pi$是连续映射${\Phi}$的同伦类, 其中$\Phi$将每个${x\in I^n=[0,1]^n}$对应于$M$中一紧致曲面.

Theorem 5 (Min-Max定理). 假设
\[
L(\Pi)>\sup\limits_{x\in\partial I^n}\textrm{area}(\Phi(x)).
\]
则存在光滑嵌入极小曲面${\Sigma\subset M}$(可能不连通且有重数)使得
\[
\textrm{area}(\Sigma)=L(\Pi).
\]
此外, 给定${\{\Phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\Pi}$, 满足
\[
\lim\limits_{i\rightarrow\infty} \sup\limits_{x\in I^n} \textrm{area}(\Phi_i(x)) = L(\Pi),
\]
我们可以选择${x_i\in I^n}$, ${i\in\mathbb{N}}$, 使得
\[
\Sigma=\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\Phi_i(x_i).
\]

初略来讲, 上一定理中的条件${L(\Pi)>\sup\limits_{x\in\partial I^n}\textrm{area}(\Phi(x))}$可看作在边界的某种障碍. 用这种语言, 上面的极小—极大定理是说利用极小曲面的面积来实现同伦类$\Pi$的宽度$L(\Pi)$这一变分问题可以通过取一列恰当的曲面$\Phi_i(x_i)$的极限来解决(使得曲面的面积趋于$L(\Pi)$), 由于障碍条件$\Phi_i(x_i)$排除了$\Phi_i(x_i)$”逃出”边界的可能, 因而${\Phi_i(x_i)}$必定收敛.
当然, 上面定理的陈述只是Fernando & André证明的极小极大定理的粗略版本. 更精确的陈述可以参考他们文章的定理8.5(以及命题8.4). 我们已经提及, 极小极大定理的证明(或者, 更恰当的, 命题8.4的证明)非常长而且技巧强, 占了他们文章很大的一部分(即13, 14, 15节以及附录C). 特别地, 关于这部分细节的讨论已超出本文的目的, 我们在下面的讨论中将不加证明地承认该定理.

Remark 4. 在Fernando & André 的文章中提到, 通过类似于Morse理论, 上述极小极大定理中的极小曲面$\Sigma$的指标应该$\leq n$(因为它来至于一簇$n$-参数曲面). 一般地, 这一精细的论断不好验证, 但是, 尽管如此, 我们将(在Theorem 4的证明中)看到在Clifford环面($n=5$)的情形这一断言确实正确.

一旦我们假定极小极大定理, 我们将继续在接下来的三小节中给出Theorem 3的概要: 即构造嵌入到$S^3$的紧致曲面$\Sigma$的极小极大同伦类.
2.2. 典则曲面簇 令$B^4=\{x\in\mathbb{R}^4: |x|<1\}$是一个开单位球. 对任何${v\in B^4}$, 令 ${F_v:S^3\rightarrow S^3}$是如下定义的共形映射 \[ F_v(x):=\frac{(1-|v|^2)}{|x-v|^2}(x-v) -x \] 给定光滑紧曲面${\Sigma\subset S^3}$, 我们有如下定义的典则曲面簇 \[ \Sigma_{(v,t)}:=\partial\{x\in S^3: d_v(x)8]的一个结果表明 \[ \textrm{area}(\Sigma_{(v,t)})\leq\mathcal{W}(\Sigma) - \frac{\sin^2t}{2}\int_{\Sigma} |\mathring{A}|^2 d\Sigma\leq\mathcal{W}(\Sigma) \] 其中${\mathring{A}}$是$\Sigma$的第二基本型$A$的无迹部分. 事实上, 上面这个估计的证明不难: 它可通过直接计算$F_v$(只有一页纸, 可以参考Fernando & André文章15页定理3.4). 综上, 给定紧嵌入曲面$\Sigma\subset S^3$, 我们有典则5维曲面簇$\Sigma_{(v,t)}$, $(v,t)\in B^4\times[-\pi,\pi]$使得 \begin{equation}\label{eq:1} \textrm{area}(\Sigma_{(v,t)})\leq \mathcal{W}(\Sigma)=\mathcal{W}(F_v(\Sigma)) \end{equation} 鉴于这个估计以及Theorem 3的陈述, 将Theorem 5应用于这簇典则曲面$\Sigma_{(v,t)}$, $(v,t)\in B^4\times[-\pi,\pi]$是非常有理由的. 然而这并不行: $B^4$ 不是紧致的, 而且任何合理的将典则簇延拓到$\overline{B}^4\times [-\pi,\pi]\simeq I^5$上都不是连续的, 即, 在平坦拓扑下(参考Remark 2), 使得如那样延拓后的典则簇不能定义合理的同伦类. 例如, $F_v(\Sigma)$ 与 $\Sigma_{(v,t)}$ 对 $B^4\ni v\rightarrow p\in S^3-\Sigma=\partial B^4-\Sigma$, 仍然有定义, 比如 ${\Sigma_{(v,t)}\rightarrow\partial B_{\pi+t}(p)}$ 或者 $\partial B_t(-p)$(这里像集的取法取决于${v\rightarrow p\in S^3-\Sigma=A^{int}\cup A^{ext}}$是依赖于${p\in A^{ext}}$ 还是${A^{int}}$, 同样的延拓对$B^4\ni v\rightarrow p\in\Sigma$ 不再成立, 这是因为${\Sigma_{(v,t)}}$在$v\rightarrow p\in\Sigma$时的极限依赖于"收敛的角度": 更准确的说, 令$N(p)$为$\Sigma\subset S^3$在$p$处的单位向量, 如果 \[ v_n=|v_n|(\cos(s_n)p+\sin(s_n)N(p)) \] 趋于$p\in \Sigma$ (即$|v_n|<1$, $|v_n|\rightarrow 1$ 且 $s_n\rightarrow 0$, $n\rightarrow\infty$), 则 \[ \Sigma_{(v_n,t)}\rightarrow \partial B_{\frac{\pi}{2}-\theta+t}(-\sin(\theta)p-\cos(\theta)N(p)) \] 其中 ${\theta=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\arctan s_n/(1-|v_n|)\in [-\pi/2,\pi/2]}$. 请看如下的示意图(低维): 一列$v_n$趋于位于$\Sigma$全测地球(赤道)的$p$.
关于当${v\rightarrow S^3=\partial B^4}$时${\Sigma_{(v,t)}}$行为的详细讨论在Fernando & André文章第5节(参考命题5.3, 引理5.4 以及附录B).

无论在那种情形, 我们已经看到将典则簇${\Sigma_{(v,t)}}$合理延拓到${\overline{B^4}\times [-\pi,\pi]}$的主要障碍是集合$\Sigma$. 这里, Fernando & André通过”爆破”(blowing up)$\Sigma$来解决, 这正是我们下一节的话题.
2.3. 爆破处理 固定$\varepsilon>0$小且令${\Omega_{\varepsilon}}$是$\Sigma$在${\overline{B^4}}$中一个半径为$\varepsilon>0$的管状邻域, 即,
\begin{multline*}
\Omega_{\varepsilon}=\Bigg\{\Lambda(p,s_1,s_2) :=(1-s_1)(\cos(s_2)p+\sin(s_2)N(p));\\
|(s_1,s_2)| :=\sqrt{s_1^2+s_2^2}<\varepsilon, s_1\geq 0\Bigg\} \end{multline*} 然后, 考虑连续映射${T:\overline{B^4}\rightarrow\overline{B^4}}$使得:

• $T$ 是${B^4-\overline{\Omega_{\varepsilon}}}$ 到 $B^4$的同胚, 且
• $T$ 将 ${\overline{\Omega_{\varepsilon}}}$ 映射为 $\Sigma$, 这里映射是最近点投射(projection to the nearest point).

更加正确地, 我们可以定义$T$为${\overline{B^4}-\Omega_{3\varepsilon}}$上的恒等映射且$T(\Lambda(p,s_1,s_2)) = \Lambda(p,\phi(|(s_1,s_2)|)s_1,\phi(|(s_1,s_2)|)s_2)$ 其中 $\phi$ 是一光滑截断函数(bump function), $\phi$ 在$[0,\varepsilon]$等于0, $\phi$ 在 $[\varepsilon,2\varepsilon]$上严格递增, 且 $\phi$ 在 $[2\varepsilon,3\varepsilon]$上等于1. 在下面, 我们给出了当$\Sigma$是子午线(全测地球)时${B^4-\overline{\Omega_{\varepsilon}}}$的一个图示, 读者将会(非常容易地)直观的了解爆破映射$T$的作用.

利用$T$, Fernando & André 修改了最初的典则曲面簇$\Sigma_{(v,t)}$, 其方法是对每个$(v,t)\in (B^4-\overline{\Omega_{\varepsilon}})\times [-\pi,\pi]$引入曲面簇$C(v,t)=\Sigma_{(T(v),t)}$. 这里, 由于我们割掉了$\Sigma$的一个$\Omega_{\varepsilon}$管状邻域, 从$T$的特性知道, 利用$\Sigma_{(v,t)}$而产生的”收敛的角度”问题可以通过使用$C(v,t)$来解决: $\Omega_{\varepsilon}$ 与$T$的定义(之选择)保证了在靠近$\Sigma$之前已停止, 从而选择了一个”固定角度的收敛”.

特别地, 不难说服自己, 新的曲面簇$C$允许一个”合理的”(即Remark 2中说的在无边的积分流空间的平坦拓扑下连续)到$\overline{B^4-\Omega_{\varepsilon}}\times [-\pi,\pi]$的延拓. 然后, 我们可以进一步将$C$延拓到$\Omega_{\varepsilon}$使得$C$在径向方向是常值, 即$C(\Lambda(p,s_1,s_2)):=C(\Lambda(p,\varepsilon,s_2))$.

通过这种方式, Fernando & André证明(参考他们文章中定理5.1)可得到定义在$\overline{B^4}\times[-\pi,\pi]$上的一簇”合理的”曲面$C$, 使得

• 对所有$v\in\overline{B^4}$,$\textrm{area}(C(v,-\pi))=\textrm{area}(C(v,\pi))=0$;
• 当$v\in S^3\cup\overline{\Omega_{\varepsilon}}$时, $C(v,t)$ 是 $S^3$ 中的测地球;
• 对每个$v\in S^3$, 存在唯一的$s(v)\in[-\pi/2,\pi/2]$使得$C(v,s(v))$ 是$S^3$的一个全测地球, 即, 对某个$\overline{Q}(v)\in S^3$;
  \[
  C(v,s(v))=\partial B_{\pi/2}(\overline{Q}(v))
  \]
  例如, 如果$v\in S^3-\Omega_{3\varepsilon}$, 则 $\overline{Q}(v)=\pm v$ 或者 $s(v)=\pm\pi/2$, 其取值依赖于$v$ 是属于 $A^{int}$ 还是 $A^{ext}$.

事实上, 最后一条中, ${\overline{Q}(v)}$原则上可以取两个值, 但对可定向曲面, 我们有${\partial B_{\pi/2}(p)\neq \partial B_{\pi/2}(-p)}$, 因而${\overline{Q}(v)}$和${s(v)}$一样都是唯一的.

特别地, 由上面的第二、三两条, 我们有
\begin{equation}\label{eq:2}
\sup\limits_{(v,t)\in\partial(\overline{B^4}\times[-\pi,\pi])}\textrm{area}(C(v,t))=4\pi
\end{equation}
稍后, 我们将看到这一等式正是上面第2.2小节中讨论的”边界障碍”, 再次之前, 让我们首先利用${C(v,t)}$来完成${\Sigma\subset S^3}$对应的极小极大同伦簇.
2.4. $\Sigma\subset S^3$的极小极大同伦簇

待续…

References

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