- 若$\Omega=(0,2)\times(0,2)\subset\mathbb{R}^2$, $u(x_1,x_2)$为如下方程的解
- (8′)求
\begin{cases}
\Delta u+\lambda u=0, &x\in\Omega\\
u|_{\partial\Omega}=0
\end{cases}
的第一、第二特征值以及相应的特征函数. - (7′)对哪些$a$, 方程
\begin{cases}
\Delta u+\frac{\pi^2}{2}u=x_1-a,&x\in\Omega\\
u|_{\partial\Omega}=0
\end{cases}
至少有一解, 说明理由.
- (8′)求
- (10′)设$u(x,y)$为方程
\begin{cases}
\Delta u=x+y,&(x,y)\in B_1(0)\subset\mathbb{R}^2,\\
u|_{\partial B_1(0)}=0
\end{cases}
的解, 求$u(0,0)$. - (15′)设$\Omega=\set{(x_1,x_2)|1<|x|<2}$, 求极小 \[ \inf_{w-(|x|^2-1)\in H_0^1(\Omega)}\int_{\Omega}(|\nabla w|^2-2w)dx. \]
- 设$x=(x_1,x_2)\in B_1(0)\subset\mathbb{R}^2$,
- (5')若$u\in C^\infty(\overline{B_1(0)})$为方程$\Delta u=0$, $x\in B_1(0)$的解, 求证 \[ \sup_{B_1(0)}|\nabla u|\leq\sup_{\partial B_1(0)}|\nabla u|. \]
- (10')若$u\in C^\infty(\overline{B_1(0)})$为方程$\Delta u+u=0$, $x\in B_1(0)$的解, 求证: 存在$C>0$(例如可取$C=100$), 使得
\[
\sup_{B_1(0)}|\nabla u|\leq C\left(\sup_{\partial B_1(0)}|\nabla u|+\sup_{B_1(0)}|u|\right).
\] - (15′)若$u>0$, 且$u\in C^\infty(\overline{B_1(0)})$为方程$\Delta u+u=0$, $x\in B_1(0)$的解, 求证存在$C>0$(例如取$C=3^{10}$), 使得
\[
\sup_{B_{1/2}(0)}u\leq C\inf_{B_{1/2}(0)}u.
\]
- (15′)设$u(x,t)$为方程
\[
\begin{cases}
u_t=u_{xx},&0< x< 1, t >0\\
u|_{x=0}=u|_{x=1}=0,\\
u|_{t=0}=x(1-x),
\end{cases}
\]
的解, 求证
\[
\int_0^1u^2(x,t)dx\leq\frac{e^{-2\pi^2t}}{30}.
\] - (15′)设$u(x,t)$为方程
\begin{cases}
u_{tt}=u_{xx},&0< x< 1,\,t >0\\
u|_{x=0}=u|_{x=1}=0,\\
u|_{t=0}=\sin(\pi x),\\
u_{t}|_{t=0}=x,
\end{cases}
的解, 令
\[
E(t)=\int_0^1(u_t^2+u_x^2)dx,
\]
求$E(3)$的值. - (10′)设$U\subset\mathbb{R}^n$为有界开集, 对某个固定的$T>0$, $U_T=U\times(0,T]$,
$$
Lu:=-\sum_{i,j=1}^na^{ij}(x,t)u_{ij}+b^i(x,t)u_i+c(x,t)u,
$$
其中$a^{ij}(x,t)$, $b^i$, $c\in C(\overline{U_T})$, 且对所有的$(x,t)\in U_T$以及所有的$\xi\in\mathbb{R}^n$有$a^{ij}=a^{ji}$, $a^{ij}(x,t)\xi_i\xi_j\geq\alpha_0|\xi|^2$, $\alpha_0>0$. 设$u\in C_1^2(U_t)\cap C(\overline{U_T})$且$c\geq0$在$U_T$上成立. 若$u_t+Lu\leq0$在$U_T$上成立, 且$u$在$(x_0,t_0)\in U_T$上达到它在$\overline{U_T}$中的最大值$0$, 则$u\equiv0$在$U_{t_0}$上成立. - 设$\Omega\subset\mathbb{R}^n$为有界光滑区域, 且对任意的$x\in\overline{\Omega}$, 以及任何$\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\set{0}$成立$a^{ij}(x)\in C^\infty(\bar\Omega)$, $a^{ij}(x)=a^{ji}(x)$, $a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\geq\alpha_0|\xi|^2$, $\alpha_0>0$. 若$u\in C^\infty(\overline{Q_T})$, $Q_T=\Omega\times(0,T)$, 是方程
\[
\begin{cases}
u_t-\sum_{i,j=1}^n(a^{ij}(x)u_i)_j=f(x,t)\in C^\infty(\overline{Q_T}),&x\in Q_T,\\
u|_{\partial\Omega}=0,\\
u|_{t=0}=g\in H_0^1(\Omega),
\end{cases}
\]
的解, 求证: 对任何$0\leq t\leq T$, 有如下估计成立- (15′)
\[
\max_{0\leq t\leq T}\|u(t)\|_{L^3(\Omega)}+\|u\|_{L^2(0,T;H_0^1(\Omega))}\leq c\left(\|f\|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))}+\|g\|_{L^2(\Omega)}\right);
\] - (15′)
\[
\sup_{0\leq t\leq T}\|u(t)\|_{H_0^1(\Omega)}+\|u\|_{L^2(0,T;H^2(\Omega))}\leq c\left(\|f\|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))}+\|g\|_{H_0^1(\Omega)}\right).
\]
- (15′)
- (20′)设$\Omega\subset\mathbb{R}^n$为有界光滑区域, $Q_T=\Omega\times(0,T)$,
\[
Lu:=-\sum_{i,j=1}^n(a^{ij}(x)u_i)_j+b^i(x,t)u_i+c(x,t)u,
\]
其中$a^{ij}(x)$, $b^i$, $c\in C^\infty(\overline{Q_T})$, 且对任何的$x\in\bar\Omega$, 以及任何的$\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\set{0}$, 有$a^{ij}(x)=a^{ji}(x)$, $a^{ij}(x)\xi_i\xi_j\geq\alpha_0|\xi|^2$, $\alpha_0>0$. 若$u\in C^\infty(\overline{Q_T})$为方程
\[
\begin{cases}
u_{tt}+Lu=f(x,t)\in L^2(0,T;L^2(\Omega)),&x\in Q_T\\
u|_{\partial \Omega}=0,\\
u|_{t=0}=g\in H_0^1(\Omega),\\
u_t|_{t=0}=h\in L^2(\Omega),
\end{cases}
\]
的解, 令
\[
E(t)=\int_{\Omega}(u^2+u_t^2+|\nabla_xu|^2)dx,
\]
求证:
\[
E(t)\leq c\left(\int_0^T\int_\Omega f^2(x,t)dxdt+\|g\|^2_{H_0^1(\Omega)}+\|h\|_{L^2(\Omega)}^2\right),
\]
其中$c>0$且只与$a^{ij}$, $b^i(x,t)$, $c(x,t)$有关.