回忆, 单复变中Cauchy积分定理说的是:
Theorem 1 (Cauchy integral theorem). 假设$f$是定义在复平面上一单连通开区域$\Omega$上的解析(全纯)函数, 则对任何$\Omega$中的闭曲线$C$,
$$
\oint_C f(z)dz=0.
$$
$$
\oint_C f(z)dz=0.
$$
我们想要说明, 它其实可以由实分析中的Stokes公式得到.
事实上, 假设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, 直接计算得到(记$C$围成的区域为$D$)
\begin{align*}
2\int_D\frac{\partial }{\partial \bar z}f(z)dx\wedge dy&=\int_D(\partial_x+i\partial _y)(u+iv)dx\wedge dy\\
&=\int_D\bigl(u_x-v_y+i(u_y+v_x)\bigr)dx\wedge dy\\
&=\int_Dd\bigl(udy+vdx+i(-udx+vdy)\bigr)\\
&=\int_Dd\bigl(v(dx+idy)-iu(dx+idy)\bigr)\\
&=\int_Dd\bigl(-i(u+iv)dz\bigr)=-i\int_D d \bigl(f(z)dz\bigr)\\
&=-i\oint_Cf(z)dz,
\end{align*}
这即表明
$$
\int_D\bar\partial f(z):=\int_D\frac{\partial }{\partial \bar z}f(z)dx\wedge dy=-\frac{i}{2}\oint_C f(z)dz.
$$
上述公式一个直接的推论就是, 当$f$全纯时(即$\bar\partial f=0$), 有
$$
\oint_C f(z)dz=0,
$$
即得到Cauchy积分定理.