Tag: 混合积

我们有如下基本事实: Theorem 1. 假设$\set{v_1,v_2,\ldots,v_n}$和$w_1,w_2,\ldots,w_n$是$\RR^n$中两个基, 定义$(n-1)\times(n-1)$矩阵 $$ A=\begin{pmatrix}\inner{v_i,w_j}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_1\cdot w_1&v_1\cdot w_2&\cdots&v_1\cdot w_{n-1}\\ v_2\cdot w_1&v_2\cdot w_2&\cdots&v_2\cdot w_{n-1}\\ \vdots &\vdots &&\vdots\\ v_{n-1}\cdot w_1&v_{n-1}\cdot w_2&\cdots&v_{n-1}\cdots w_{n-1} \end{pmatrix}, $$ 则 \begin{equation}\label{eq:res} \inner{v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_{n-1},w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\det A. \end{equation}