我们有如下基本事实:
Theorem 1. 假设$\set{v_1,v_2,\ldots,v_n}$和$w_1,w_2,\ldots,w_n$是$\RR^n$中两个基, 定义$(n-1)\times(n-1)$矩阵
$$
A=\begin{pmatrix}\inner{v_i,w_j}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
v_1\cdot w_1&v_1\cdot w_2&\cdots&v_1\cdot w_{n-1}\\
v_2\cdot w_1&v_2\cdot w_2&\cdots&v_2\cdot w_{n-1}\\
\vdots &\vdots &&\vdots\\
v_{n-1}\cdot w_1&v_{n-1}\cdot w_2&\cdots&v_{n-1}\cdots w_{n-1}
\end{pmatrix},
$$
则
\begin{equation}\label{eq:res}
\inner{v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_{n-1},w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\det A.
\end{equation}
$$
A=\begin{pmatrix}\inner{v_i,w_j}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
v_1\cdot w_1&v_1\cdot w_2&\cdots&v_1\cdot w_{n-1}\\
v_2\cdot w_1&v_2\cdot w_2&\cdots&v_2\cdot w_{n-1}\\
\vdots &\vdots &&\vdots\\
v_{n-1}\cdot w_1&v_{n-1}\cdot w_2&\cdots&v_{n-1}\cdots w_{n-1}
\end{pmatrix},
$$
则
\begin{equation}\label{eq:res}
\inner{v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_{n-1},w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\det A.
\end{equation}
Proof . 首先, 注意到\eqref{eq:res}两边关于三种初等变换(数乘一行,交换两行,某行的倍数加到另一行)是成立的. 故我们只需证明$\set{v_1,v_2,\ldots,v_n}$是标准正交基$\set{e_1,e_2,\ldots,e_n}$的情形.
记列向量$w_1,w_2,\ldots,w_n$构成的矩阵为$W=\begin{pmatrix}w_1&w_2&\cdots&w_n\end{pmatrix}$, 并将其分块为$W=\begin{pmatrix}W_1\\W_0\end{pmatrix}$. 则
$$
A=\begin{pmatrix}\inner{e_i,w_j}\end{pmatrix}=W_1.
$$
另一方面, 按照外积的定义(如下矩阵按最后一行展开)
$$
w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}=\det\begin{pmatrix}
&w_1^T\\
&w_2^T\\
&\vdots\\
&w_{n-1}^T\\
e_1&\cdots &e_{n-1}&e_n
\end{pmatrix}\\
=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_ie_i+\det W_1^Te_n.
$$
可见
$$
\inner{v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_{n-1},w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\inner{e_n,w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\det W_1^T=\det W_1=\det A.
$$