Tag: 基本方程

Theorem 1. 假设$M^m,N^n$是两个个黎曼流形, $R$, $\bar R$分别是它们的曲率张量, 它们的黎曼联络分别记为$\nabla$, $\overline\nabla$。 又设$f:M\to N$是一个浸入(即$f_*:TM\to TN$ 是单射), 则有如下的Gauss-Codazzi-Ricci方程成立 \begin{equation} \begin{split} \bar R(X,Y,Z,W)&=R(X,Y,Z,W)+\left\langle A(X,Z),A(Y,W)\right\rangle-\left\langle A(X,W),A(Y,Z)\right\rangle,\\ \bar R(X,Y,Z,U)&=\Big\langle (\widetilde\nabla_XA)(Y,Z)-(\widetilde\nabla_YA)(X,Z),U\Big\rangle,\\ \bar R(X,Y,U,V)&=\Big\langle R^\perp(X,Y)U-\left\langle [P_U,P_V]X,Y \right\rangle,V\Big\rangle. \end{split} \end{equation} 其中$X,Y, Z,W$是$M$的切向量场, 而$U,V$是$M$的法向量场(即法丛$T^\perp M\subset TN$的截面); $A$是第二基本型而$P$是形状算子, $\widetilde\nabla$是$\nabla$与法联络$\nabla^\perp$诱导的联络.