黎曼流形上函数的Bochner公式

Proof . 首先, 回忆Laplace的定义, 它是Hessian的迹。而Hessian定义为, 对一个函数$u\in C^\infty(M)$, $X,Y\in \Gamma(TM), $我们有
\begin{align*}
\mathrm{Hess}_u(X,Y)&=(D^2u)(X,Y)=(D_X(\nabla u))(Y)\\
&=D_XD_Yu-\nabla_{\nabla_XY}u\\
&=D_X\langle\nabla u,Y\rangle-\langle D_XY,\nabla u\rangle\\
&=\langle D_X\nabla u, Y \rangle.
\end{align*}

下面, 我们说明$\mathrm{Hess}u(X,Y)$关于$X,Y$是对称的。
\begin{align*}
D^2u(X,Y)-D^2u(Y,X)&=\langle D_X\nabla u,Y \rangle\langle D_Y\nabla u,X \rangle\\
&=D_X\langle \nabla u,Y \rangle-D_Y\langle\nabla u,X\rangle-\langle \nabla u,D_XY-D_YX \rangle\\
&=X(Yu)-Y(Xu)-[X,Y]u\\
&=0,
\end{align*}
这里, 我们用到了黎曼联络的度量相容性与无挠性。

令$v=\frac{1}{2}|\nabla u|^2$, 则(假设$\left\{ e_i \right\}_{i=1}^{\dim M}$是一个幺正标架)
\begin{align*}
\langle \nabla v,e_j \rangle&\nabla_{e_j}v=\langle \nabla_{e_j}\nabla u,\nabla u \rangle\\
&=\mathrm{Hess}_u(e_j,\nabla u)\\
&=\mathrm{Hess}_u(\nabla u,e_j)\\
&=\langle \nabla_{\nabla u}\nabla u,e_j \rangle,
\end{align*}
可见
$$
\nabla v=\nabla_{\nabla u}\nabla u.
$$
我们按照Petersen书上(参考[1,p.33,38])的曲率符号约定, 计算得到
\begin{align*}
\Delta v&=\mathrm{Hess}_v(e_i,e_i)=\langle \nabla_{e_i}\nabla v,e_i \rangle\\
&=\langle \nabla_{e_i}\nabla_{\nabla u} \nabla u,e_i\rangle\\
&=\langle R(e_i,\nabla u)\nabla u,e_i\rangle+\langle \nabla_{\nabla u}\nabla_{e_i} \nabla u,e_i\rangle+\langle \nabla_{[e_i,\nabla u]}\nabla u,e_i\rangle\\
&=\mathrm{Ric}(\nabla u,\nabla u)+\nabla u\langle \nabla_{e_i}\nabla u,e_i \rangle -\langle \nabla_{e_i} \nabla u, \nabla_{\nabla u}e_i \rangle+\langle \nabla_{[e_i,\nabla u]}\nabla u,e_i\rangle.
\end{align*}
现在, 注意到
\begin{align*}
\nabla u\langle \nabla_{e_i}\nabla u,e_i \rangle&=\langle\nabla u,\nabla\Delta u\rangle,\\
\langle \nabla_{[e_i,\nabla u]}\nabla u,e_i\rangle&=\mathrm{Hess}_u([e_i,\nabla u],e_i)=\langle \nabla_{e_i}\nabla u,[e_i,\nabla u] \rangle\\
&=\langle\nabla_{e_i}\nabla u,\nabla_{e_i}\nabla u-\nabla_{\nabla u}e_i\rangle\\
&=\left\langle\langle\nabla_{e_i}\nabla u,e_j\rangle e_j,\langle\nabla_{e_i}\nabla u,e_k\rangle e_k\right\rangle-\langle\nabla_{e_i}\nabla u,\nabla_{\nabla u}e_i\rangle\\
&=|\mathrm{Hess}_u|^2-\langle\nabla_{e_i}\nabla u,\nabla_{\nabla u}e_i\rangle.
\end{align*}
因此
\begin{equation}\label{eq:Bochner-temp}
\Delta v=\mathrm{Ric}(\nabla u,\nabla u)+\langle\nabla u,\nabla\Delta u\rangle+|\mathrm{Hess}_u|^2-2\langle\nabla_{e_i}\nabla u,\nabla_{\nabla u}e_i\rangle.
\end{equation}

下面, 我们将证明
$$
\langle\nabla_{e_i}\nabla u,\nabla_{\nabla u}e_i\rangle=0.
$$

一种简单的方式是, 注意到, 它不依赖于坐标的选取(由\eqref{eq:Bochner-temp})。取法坐标$\{e_i\}$, 使得$\nabla_{e_i}e_j=0$ 在给某给定点$p$处成立。若设$\nabla u=\langle\nabla u,e_i\rangle e_i=(e_iu)e_i:=u_ie_i$, 则在$p$点处
$$
\nabla_{\nabla u}e_i=\nabla_{u_je_j}e_i=u_j\nabla_{e_j}e_i=0.
$$

另一种, 不利用法坐标的办法是：假设
$$
\nabla_{e_i}\nabla u=a_{ij}e_j,\quad
\nabla_{\nabla u}e_i=b_{ij}e_j.
$$
则
$$
\langle\nabla_{e_i}\nabla u,\nabla_{\nabla u}e_i\rangle=a_{ij}b_{ij}.
$$
注意到,
\begin{align*}
a_{ij}&=\langle\nabla_{e_i}\nabla u,e_j\rangle=\mathrm{Hess}_u(e_i,e_j)=a_{ji}\\
b_{ij}&=\langle\nabla_{\nabla u}e_i,e_j\rangle=\nabla u\langle e_i,e_j\rangle-\langle e_i,\nabla_{\nabla u}e_j\rangle\\
&=-\langle e_i, b_{jk}e_k\rangle=-b_{ji}.
\end{align*}
于是
$$
\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}=\sum_{j,i}a_{ji}b_{ji}=-\sum_{j,i}a_{ij}b_{ij}.
$$
由此即得结论。