Gamma函数与Sobolev嵌入定理

回忆, Gamma函数的定义
$$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad z\in\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right).$$
容易验证如下基本性质, 对$z>0$, 我们有
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt =-\int_0^\infty t^zd e^{-t} =-t^ze^{-t}|_0^\infty+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z).$$
容易验证对$\Re(z)>0$有Cauchy–Riemann 方程成立, 故由Looman–Menchoff定理, 我们知道$\Gamma$在右边平面$\{z=(x,y):x>0\}$时是全纯的。

下面, 我们通过逐步的连续延拓, 将$\Gamma$延拓到$\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right)$. 首先, 对$\Re (z)\in(-1,0)$, 我们知道, $\Re(z+1)\in(0,1)$, 故如下定义的延拓
$$\Gamma(z):=\frac{\Gamma(z+1)}{z}$$
是解析延拓。类似地对$\Re(z)\in(-2,-1)$, 此时$\Re(z+1)\in(-1,0)$, 故利用上面延拓后的$\Gamma$, 我们可以得到如下解析延拓
$$\Gamma(z):=\frac{\Gamma(z+1)}{z}.$$
如此继续下去就得到了$\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right)$上定义的$\Gamma$函数。

我们知道, Sobolev空间$H^1(\Omega)$, 这里$\Omega\subset\mathbb{R}^n$是一个光滑有界开区域, 定义为
$$f\in H^1(\Omega)\iff f\in L^2(\Omega),\quad\int_\Omega |f|^2<+\infty\,\&\,\int_\Omega|\nabla f|^2<+\infty,$$ 其中$\nabla f$是$f$的分布导数(当$f$可导时就是普通导数)。 我们想要说明的是如下命题