回忆, Gamma函数的定义
$$
\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad z\in\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right).
$$
容易验证如下基本性质, 对$z>0$, 我们有
$$
\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt
=-\int_0^\infty t^zd e^{-t}
=-t^ze^{-t}|_0^\infty+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z).
$$
容易验证对$\Re(z)>0$有Cauchy–Riemann 方程成立, 故由Looman–Menchoff定理, 我们知道$\Gamma$在右边平面$\{z=(x,y):x>0\}$时是全纯的。
下面, 我们通过逐步的连续延拓, 将$\Gamma$延拓到$\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right)$. 首先, 对$\Re (z)\in(-1,0)$, 我们知道, $\Re(z+1)\in(0,1)$, 故如下定义的延拓
$$
\Gamma(z):=\frac{\Gamma(z+1)}{z}
$$
是解析延拓。类似地对$\Re(z)\in(-2,-1)$, 此时$\Re(z+1)\in(-1,0)$, 故利用上面延拓后的$\Gamma$, 我们可以得到如下解析延拓
$$
\Gamma(z):=\frac{\Gamma(z+1)}{z}.
$$
如此继续下去就得到了$\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right)$上定义的$\Gamma$函数。
我们知道, Sobolev空间$H^1(\Omega)$, 这里$\Omega\subset\mathbb{R}^n$是一个光滑有界开区域, 定义为
$$
f\in H^1(\Omega)\iff f\in L^2(\Omega),\quad\int_\Omega |f|^2<+\infty\,\&\,\int_\Omega|\nabla f|^2<+\infty,
$$
其中$\nabla f$是$f$的分布导数(当$f$可导时就是普通导数)。
我们想要说明的是如下命题
$$
事实上, 直接计算可知
$$
\int_B |f|^2=\int_0^{2\pi}\int_0^1(-2\ln r)^\alpha rdrd\theta
=2\pi\int_0^\infty (2t)^\alpha e^{-2t}dt
=\pi\int_0^\infty t^\alpha e^{-t}dt
=\pi\Gamma(\alpha+1).
$$
而
$$
|\nabla f|^2=(\partial_1f)^2+(\partial_2f)^2=(\partial_rf)^2=4\alpha^2(-2\ln r)^{2\alpha-2}r^{-2}.
$$
因此, 对$\alpha\in(0,1/2)$, 我们有
$$
\int_{B_{1/2}}|\nabla f|^2=2\pi\int_0^{1/2}4\alpha^2(-2\ln r)^{2\alpha-2}r^{-1}dr
=4\pi\alpha^2\int_{2\ln 2}^\infty t^{2\alpha-2}dt
=2^{2\alpha+1}\frac{\pi\alpha^2}{1-2\alpha}.
$$
由此可见函数
$$
F(x)=f(x/\sqrt{2})=\left(-\ln(|x|^2/2)\right)^\alpha,\quad \alpha\in(0,1/2),\,x\in B.
$$
满足要求。