法局部幺正标架的存在性

Proof . 事实上, 假设$\{e_i\}_{i=1}^m$是$p$处的一个幺正标架, $x=(x^1,\ldots,x^m)$是$p$处由幺正标架$\{e_i\}$以及指数映照$\exp_p$定义的$p$处某邻域$U$上的坐标系, 即对任意的$q\in U\subset M$, 有$q=\exp_p(x^ie_i)$.
首先, 我们说明上述坐标$x$是$p$处的法坐标, 即

• $g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle$满足$g_{ij}(p)=\delta_{ij}$;
• $\Gamma_{ij}^k(p)=0$; 特别地$X_k g_{ij}=0$;

记$X_k=\frac{\partial}{\partial x^k}$为自然标架, $\gamma_i(t)=\exp_p(te_i)$为坐标曲线。注意到, 切映照$d\exp$满足$d\exp_p(e_i)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\gamma_i(t)=X_i(\gamma_i(0))\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}t=e_i$, 即$d\exp_p=\mathrm{id}$, 从而
$$
g_{ij}(p)=\langle X_i,X_j\rangle|_p=\langle d\exp_{p}e_i,d\exp_pe_j\rangle=\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}.
$$

又注意到对任意$p$处的切向量$v=v^ie_i$, 从$p$出发以$v$为初始向量的测地线可表示为$\gamma_v(t)=\exp_p(tv)$, 故由测地线方程
$$
0=\ddot\gamma^k_v(t)+\Gamma_{ij}^k(\gamma_v(t))\dot\gamma_v^i(t)\dot\gamma_v^j(t),\quad\forall k=1,\ldots,m,
$$
这里, $\gamma_v^k(t)=v^k t$是$\gamma_v(t)$的坐标分量。于是在$p$处
$$
0=\Gamma_{ij}^k(p)v^iv^j.
$$
由$v$的任意性知$\Gamma_{ij}^k(p)=0$, 对任意的$i,j,k=1,2\ldots,m$成立。由Gauss轮换知$X_k g_{ij}$可用$\Gamma_{ij}^k$表示出来, 故$X_k g_{ij}=0$.

现在, 假设$\{E_i\}$是$\{e_i\}$通过沿测地线平行移动在$U$上定义的局部幺正标架(平行移动保持长度与夹角)。我们将说明$\{E_i\}$就是$p$处的法幺正标架。事实上, 假设$E_i=f_{ik}X_k$, 则按照沿$\gamma_l(t)$平行移动的定义(我们记$\frac{D}{dt}$为沿曲线$\gamma_l(t)$的共变微分),
\begin{align*}
0&=\frac{D}{dt}E_i=\frac{D}{dt}(f_{ik}X_k)\\
&:=\nabla_{\dot\gamma_l(t)}(f_{ik}X_k)|_{\gamma_l(t)}=[\nabla_{X_l}(f_{ik}X_k)]|_{\gamma_l(t)}\\
&=[X_l(f_{ik})X_k+f_{ik}\Gamma_{lk}^jX_j]|_{\gamma_l(t)}
\end{align*}
特别地, 在$p$处, 由于$\Gamma_{ij}^k(p)=\Gamma_{ij}^k(\gamma_l(0))=0$,
$$
[X_l(f_{ik})X_k]_{p}=0.
$$
这样, 我们直接计算得到, 在$p$处
\begin{align*}
\nabla_{E_i}E_j&=\nabla_{f_{ik}X_k}(f_{jl}X_l)=f_{ik}(\nabla_{X_k}(f_{jl}X_l))\\
&=f_{ik}(X_k(f_{jl})X_l+f_{jl}\nabla_{X_k}X_l)\\
&=f_{ik}f_{jl}\Gamma_{kl}^iX_i\\
&=0.
\end{align*}