我们首先来看\alpha调和映照流, 其方程可以写作 \left\{\begin{aligned} \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}u_k^\gamma u_l^\beta}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}&=\Gamma^\beta(u)(\nabla u,\nabla u),\quad x\in M;\\ u(\cdot,0)&=u_0\in C^\infty(M), \quad x\in M;\\ u^n(x,t)&=0, \quad (x,t)\in\partial M\times[0,T];\\ \frac{\partial u^\beta}{\partial\nu}&=0,\quad (x,t)\in \partial M\times [0,T],\quad \beta=1,2,\ldots, n-1. \end{aligned}\right. 我们将考虑其线性形式, 即 \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}w_k^\gamma w_l^\beta}{1+\lvert \nabla w \rvert^2}=\Gamma^\beta(w)(\nabla w,\nabla w),\quad x\in M. 改写成标准的形式 \mathcal{L}u=f,
α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算
回忆, \alpha-杨米尔斯–希格斯场的方程为方程组 \Delta a_j^\beta=2\left( -a_i^\gamma \partial_ia_j^\delta g_{\gamma\delta}^\beta+\Upsilon h_{ab}(u)u_{|j}^a\lambda_\beta^b(u)+F_{ij}^\gamma a_i^\delta g_{\beta\delta}^\gamma \right), 与 \mathrm{div}(\Upsilon h_{ab}u_{|i}^a)=\Upsilon h_{ad}(u)u_{|i}^a\left( \Gamma_{bc}^d(u)\partial_iu^c+A_{bi}^d(u) \right)+\mu(u)\cdot\left[ \nabla_{\partial_{f^b}}\mu \right](u), 其中\Upsilon=\alpha(1+\lvert \nabla_Au \rvert^2)^{\alpha-1}=\alpha\left(1+h_{ab}(u)(\partial_iu^a+a_i^\beta\lambda_\beta^a(u))(\partial_iu^b+a_i^\gamma\lambda_\gamma^b(u))\right)^{\alpha-1}, u_{|i}^a=\partial_iu^a+a_i^\beta \lambda_\beta^a(u), F_{ij}^\gamma=(\partial_ia_j^\gamma-\partial_ja_i^\gamma)+2a_i^\beta a_j^\delta g_{\beta\delta}^\gamma, A_{bi}^d(u)=a_i^\beta\left(\partial_{f^b}\lambda_\beta^d(u)+\lambda_\beta^c(u)\Gamma_{bc}^d(u)\right), 而h, \Gamma, \lambda, \mu 是 u的光滑函数. 按照定义 [v_\beta,v_\gamma]=g_{\beta\gamma}^\delta v_\delta, \left\{ g_{\beta\gamma}^\delta \right\} 称为李代数的结构常数.
α调和映照方程的基本计算
假设F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}, 则容易知道α调和映照的方程为 \mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0. 其中, h_{ab}是靶流形N \hookrightarrow \mathbb{R}^K的度量, 而\Gamma_{ab}^c为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a. 直接展开知道 Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0.
计算\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)}的值
SE上有关无穷求和(欧拉和) \begin{equation}\label{eq:n2} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \end{equation} 的讨论。参考Different methods to compute \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} (Basel problem). 我的问题是, 如何用他们的办法求 \begin{equation}\label{eq:n3} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)} \end{equation} 注意到 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} 是\zeta(3)并不能准确算出来(不能用已知常数表示)。
函数的球对称化的一个例子
假设u(x)是\mathbb{R}^n上一个(实/复)函数, 定义u的上水平集为 \mu(t)=|\{x\in\mathbb{R}^m:u(x)>t\}|. 又定义u的球对称重排(spherically symmetric rearrangement)为 u^*(x)=\sup\{t:\mu(t)>|B_{|x|}|\} 其中B_{|x|}表示\mathbb{R}^m中半径为|x|的球。 Example 1. 假设u(x)=4-(x-7)^2, x\in\mathbb{R}^1, 则u^*(x)=4-x^2.
Gamma函数与Sobolev嵌入定理
回忆, Gamma函数的定义 \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad z\in\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right). 容易验证如下基本性质, 对z>0, 我们有 \Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt =-\int_0^\infty t^zd e^{-t} =-t^ze^{-t}|_0^\infty+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z). 容易验证对\Re(z)>0有Cauchy–Riemann 方程成立, 故由Looman–Menchoff定理, 我们知道\Gamma在右边平面\{z=(x,y):x>0\}时是全纯的。
Gauss-Codazzi-Ricci方程
Theorem 1. 假设M^m,N^n是两个个黎曼流形, R, \bar R分别是它们的曲率张量, 它们的黎曼联络分别记为\nabla, \overline\nabla。 又设f:M\to N是一个浸入(即f_*:TM\to TN 是单射), 则有如下的Gauss-Codazzi-Ricci方程成立 \begin{equation} \begin{split} \bar R(X,Y,Z,W)&=R(X,Y,Z,W)+\left\langle A(X,Z),A(Y,W)\right\rangle-\left\langle A(X,W),A(Y,Z)\right\rangle,\\ \bar R(X,Y,Z,U)&=\Big\langle (\widetilde\nabla_XA)(Y,Z)-(\widetilde\nabla_YA)(X,Z),U\Big\rangle,\\ \bar R(X,Y,U,V)&=\Big\langle R^\perp(X,Y)U-\left\langle [P_U,P_V]X,Y \right\rangle,V\Big\rangle. \end{split} \end{equation} 其中X,Y, Z,W是M的切向量场, 而U,V是M的法向量场(即法丛T^\perp M\subset TN的截面); A是第二基本型而P是形状算子, \widetilde\nabla是\nabla与法联络\nabla^\perp诱导的联络.
法局部幺正标架的存在性
假设M^m是一个m维黎曼流形, p\in M 是一个点。我们称局部幺正标架\{e_i\}_{i=1}^m是p处的法正交标架, 如果在p处, 对任意的i,j=1,2,\ldots,m, 成立 \nabla_{e_i}e_j=0. Proposition 1. 对任和黎曼流形M上的任意固定点p, 存在p处的法幺正标架。
极小曲面的例子
1. 螺旋面(Helicoid) 螺旋面是\RR^3中的曲面, 其的方程是 \set{(x,y,z)\in\RR^3:z=\arctan(y/x)} 用Mathematica作图得到 r = 5; ParametricPlot3D[{t Cos[s], t Sin[s], s}, {s, -r, r}, {t, -r, r}]
黎曼流形上函数的Bochner公式
Bochner公式给出了黎曼流形上函数的Laplace与曲率之间的关系。 Theorem 1 (Bochner公式). 假设u是黎曼流形M上一个光滑函数, v=\frac{1}{2}|\nabla u|^2, 则有 \Delta v=\mathrm{Ric}(\nabla u,\nabla u)+\langle\nabla u,\nabla\Delta u\rangle+|\mathrm{Hess}_u|^2.