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$\alpha$-调和映照流的初边值问题之存在性

我们首先来看$\alpha$调和映照流, 其方程可以写作 $$\left\{\begin{aligned} \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}u_k^\gamma u_l^\beta}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}&=\Gamma^\beta(u)(\nabla u,\nabla u),\quad x\in M;\\ u(\cdot,0)&=u_0\in C^\infty(M), \quad x\in M;\\ u^n(x,t)&=0, \quad (x,t)\in\partial M\times[0,T];\\ \frac{\partial u^\beta}{\partial\nu}&=0,\quad (x,t)\in \partial M\times [0,T],\quad \beta=1,2,\ldots, n-1. \end{aligned}\right.$$ 我们将考虑其线性形式, 即 $$ \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}w_k^\gamma w_l^\beta}{1+\lvert \nabla w \rvert^2}=\Gamma^\beta(w)(\nabla w,\nabla w),\quad x\in M. $$ 改写成标准的形式 $$ \mathcal{L}u=f, $$

α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算

回忆, $\alpha$-杨米尔斯–希格斯场的方程为方程组 $$ \Delta a_j^\beta=2\left( -a_i^\gamma \partial_ia_j^\delta g_{\gamma\delta}^\beta+\Upsilon h_{ab}(u)u_{|j}^a\lambda_\beta^b(u)+F_{ij}^\gamma a_i^\delta g_{\beta\delta}^\gamma \right), $$ 与 $$ \mathrm{div}(\Upsilon h_{ab}u_{|i}^a)=\Upsilon h_{ad}(u)u_{|i}^a\left( \Gamma_{bc}^d(u)\partial_iu^c+A_{bi}^d(u) \right)+\mu(u)\cdot\left[ \nabla_{\partial_{f^b}}\mu \right](u), $$ 其中$\Upsilon=\alpha(1+\lvert \nabla_Au \rvert^2)^{\alpha-1}=\alpha\left(1+h_{ab}(u)(\partial_iu^a+a_i^\beta\lambda_\beta^a(u))(\partial_iu^b+a_i^\gamma\lambda_\gamma^b(u))\right)^{\alpha-1}$, $u_{|i}^a=\partial_iu^a+a_i^\beta \lambda_\beta^a(u)$, $F_{ij}^\gamma=(\partial_ia_j^\gamma-\partial_ja_i^\gamma)+2a_i^\beta a_j^\delta g_{\beta\delta}^\gamma$, $A_{bi}^d(u)=a_i^\beta\left(\partial_{f^b}\lambda_\beta^d(u)+\lambda_\beta^c(u)\Gamma_{bc}^d(u)\right)$, 而$h$, $\Gamma$, $\lambda$, $\mu$ 是 $u$的光滑函数. 按照定义 $[v_\beta,v_\gamma]=g_{\beta\gamma}^\delta v_\delta$, $\left\{ g_{\beta\gamma}^\delta \right\}$ 称为李代数的结构常数.

α调和映照方程的基本计算

假设$F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}$, 则容易知道α调和映照的方程为 $$ \mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0. $$ 其中, $h_{ab}$是靶流形$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$的度量, 而$\Gamma_{ab}^c$为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为$u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a$. 直接展开知道 $$ Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0. $$

计算$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)}$的值

SE上有关无穷求和(欧拉和) \begin{equation}\label{eq:n2} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \end{equation} 的讨论。参考Different methods to compute $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}$ (Basel problem). 我的问题是, 如何用他们的办法求 \begin{equation}\label{eq:n3} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)} \end{equation} 注意到 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} $$ 是$\zeta(3)$并不能准确算出来(不能用已知常数表示)。

函数的球对称化的一个例子

假设$u(x)$是$\mathbb{R}^n$上一个(实/复)函数, 定义$u$的上水平集为 $$ \mu(t)=|\{x\in\mathbb{R}^m:u(x)>t\}|. $$ 又定义$u$的球对称重排(spherically symmetric rearrangement)为 $$ u^*(x)=\sup\{t:\mu(t)>|B_{|x|}|\} $$ 其中$B_{|x|}$表示$\mathbb{R}^m$中半径为$|x|$的球。 Example 1. 假设$u(x)=4-(x-7)^2$, $x\in\mathbb{R}^1$, 则$u^*(x)=4-x^2$.

Gamma函数与Sobolev嵌入定理

回忆, Gamma函数的定义 $$ \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad z\in\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right). $$ 容易验证如下基本性质, 对$z>0$, 我们有 $$ \Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt =-\int_0^\infty t^zd e^{-t} =-t^ze^{-t}|_0^\infty+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z). $$ 容易验证对$\Re(z)>0$有Cauchy–Riemann 方程成立, 故由Looman–Menchoff定理, 我们知道$\Gamma$在右边平面$\{z=(x,y):x>0\}$时是全纯的。

Gauss-Codazzi-Ricci方程

Theorem 1. 假设$M^m,N^n$是两个个黎曼流形, $R$, $\bar R$分别是它们的曲率张量, 它们的黎曼联络分别记为$\nabla$, $\overline\nabla$。又设$f:M\to N$是一个浸入(即$f_*:TM\to TN$ 是单射), 则有如下的Gauss-Codazzi-Ricci方程成立 \begin{equation} \begin{split} \bar R(X,Y,Z,W)&=R(X,Y,Z,W)+\left\langle A(X,Z),A(Y,W)\right\rangle-\left\langle A(X,W),A(Y,Z)\right\rangle,\\ \bar R(X,Y,Z,U)&=\Big\langle (\widetilde\nabla_XA)(Y,Z)-(\widetilde\nabla_YA)(X,Z),U\Big\rangle,\\ \bar R(X,Y,U,V)&=\Big\langle R^\perp(X,Y)U-\left\langle [P_U,P_V]X,Y \right\rangle,V\Big\rangle. \end{split} \end{equation} 其中$X,Y, Z,W$是$M$的切向量场, 而$U,V$是$M$的法向量场(即法丛$T^\perp M\subset TN$的截面); $A$是第二基本型而$P$是形状算子, $\widetilde\nabla$是$\nabla$与法联络$\nabla^\perp$诱导的联络.