Author Van Abel Posted on May 28, 2018Categories MATHTags ,   Leave a comment on 函数的球对称化的一个例子

函数的球对称化的一个例子

假设$u(x)$是$\mathbb{R}^n$上一个(实/复)函数, 定义$u$的上水平集为 $$ \mu(t)=|\{x\in\mathbb{R}^m:u(x)>t\}|. $$ 又定义$u$的球对称重排(spherically symmetric rearrangement)为 $$ u^*(x)=\sup\{t:\mu(t)>|B_{|x|}|\} $$ 其中$B_{|x|}$表示$\mathbb{R}^m$中半径为$|x|$的球。 Example 1. 假设$u(x)=4-(x-7)^2$, $x\in\mathbb{R}^1$, 则$u^*(x)=4-x^2$.

Author Van Abel Posted on May 25, 2018Categories MATHTags , , ,   Leave a comment on Gamma函数与Sobolev嵌入定理

Gamma函数与Sobolev嵌入定理

回忆, Gamma函数的定义 $$ \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad z\in\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right). $$ 容易验证如下基本性质, 对$z>0$, 我们有 $$ \Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt =-\int_0^\infty t^zd e^{-t} =-t^ze^{-t}|_0^\infty+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z). $$ 容易验证对$\Re(z)>0$有Cauchy–Riemann 方程成立, 故由

Author Van Abel Posted on January 27, 2018Categories MATHTags , , , ,   Leave a comment on Gauss-Codazzi-Ricci方程

Gauss-Codazzi-Ricci方程

Theorem 1. 假设$M^m,N^n$是两个个黎曼流形, $R$, $\bar R$分别是它们的曲率张量, 它们的黎曼联络分别记为$\nabla$, $\overline\nabla$。 又设$f:M\to N$是一个浸入(即$f_*:TM\to TN$ 是单射), 则有如下的Gauss-Codazzi-Ricci方程成立 \begin{equation} \begin{split} \bar R(X,Y,Z,W)&=R(X,Y,Z,W)+\left\langle A(X,Z),A(Y,W)\right\rangle-\left\langle A(X,W),A(Y,Z)\right\rangle,\\ \bar R(X,Y,Z,U)&=\Big\langle (\widetilde\nabla_XA)(Y,Z)-(\widetilde\nabla_YA)(X,Z),U\Big\rangle,\\ \bar R(X,Y,U,V)&=\Big\langle R^\perp(X,Y)U-\left\langle [P_U,P_V]X,Y \right\rangle,V\Big\rangle. \end{split} \end{equation} 其中$X,Y, Z,W$是$M$的切向量场, 而$U,V$是$M$的法向量场(即法丛$T^\perp M\subset TN$的截面); $A$是第二基本型而$P$是形状算子, $\widetilde\nabla$是$\nabla$与法联络$\nabla^\perp$诱导的联络.

Author Van Abel Posted on January 9, 2018Categories MATHTags , , ,   Leave a comment on 法局部幺正标架的存在性

法局部幺正标架的存在性

假设$M^m$是一个$m$维黎曼流形, $p\in M$ 是一个点。我们称局部幺正标架$\{e_i\}_{i=1}^m$是$p$处的法正交标架, 如果在$p$处, 对任意的$i,j=1,2,\ldots,m$, 成立 $$ \nabla_{e_i}e_j=0. $$ Proposition 1. 对任和黎曼流形$M$上的任意固定点$p$, 存在$p$处的法幺正标架。

Author Van Abel Posted on December 13, 2017Categories MATHTags , ,   Leave a comment on 黎曼流形上函数的Bochner公式

黎曼流形上函数的Bochner公式

Bochner公式给出了黎曼流形上函数的Laplace与曲率之间的关系。 Theorem 1 (Bochner公式). 假设$u$是黎曼流形$M$上一个光滑函数, $v=\frac{1}{2}|\nabla u|^2$, 则有 $$ \Delta v=\mathrm{Ric}(\nabla u,\nabla u)+\langle\nabla u,\nabla\Delta u\rangle+|\mathrm{Hess}_u|^2. $$