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若$\Omega=(0,2)\times(0,2)\subset\mathbb{R}^2$, $u(x_1,x_2)$为如下方程的解(8′)求 \begin{cases} \Delta u+\lambda u=0, &x\in\Omega\\ u|_{\partial\Omega}=0 \end{cases} 的第一、第二特征值以及相应的特征函数.(7′)对哪些$a$, 方程 \begin{cases} \Delta u+\frac{\pi^2}{2}u=x_1-a,&x\in\Omega\\ u|_{\partial\Omega}=0 \end{cases} 至少有一解, 说明理由.(10′)设$u(x,y)$为方程 \begin{cases} \Delta u=x+y,&(x,y)\in B_1(0)\subset\mathbb{R}^2,\\ u|_{\partial B_1(0)}=0 \end{cases} 的解, 求$u(0,0)$.(15′)设$\Omega=\set{(x_1,x_2)|10$(例如可取$C=100$), 使得 \[ \sup_{B_1(0)}|\nabla u|\leq C\left(\sup_{\partial B_1(0)}|\nabla u|+\sup_{B_1(0)}|u|\right). \](15′)若$u>0$, 且$u\in C^\infty(\overline{B_1(0)})$为方程$\Delta u+u=0$, $x\in B_1(0)$的解, 求证存在$C>0$(例如取$C=3^{10}$), 使得 \[ \sup_{B_{1/2}(0)}u\leq C\inf_{B_{1/2}(0)}u. \](15′)设$u(x,t)$为方程 \[ \begin{cases} u_t=u_{xx},&0< x< 1, t >0\\ u|_{x=0}=u|_{x=1}=0,\\ u|_{t=0}=x(1-x), \end{cases} \] 的解, 求证 \[ \int_0^1u^2(x,t)dx\leq\frac{e^{-2\pi^2t}}{30}. \](15′)设$u(x,t)$为方程 \begin{cases} u_{tt}=u_{xx},&0< x< 1,\,t >0\\ u|_{x=0}=u|_{x=1}=0,\\ u|_{t=0}=\sin(\pi x),\\ u_{t}|_{t=0}=x, \end{cases} 的解, 令 \[ E(t)=\int_0^1(u_t^2+u_x^2)dx, \] 求$E(3)$的值.(10′)设$U\subset\mathbb{R}^n$为有界开集, 对某个固定的$T>0$, $U_T=U\times(0,T]$, … Continue reading “偏微分方程期末试题”