Take notes of Mathematics
Author Van Abel Posted on December 13, 2016Categories MATH Leave a comment on 弱调和映照的欧拉—拉格朗日
1. 弱调和映照 假设$(M,g)$, $(N,h)$是两个黎曼流形, 且$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K $. 定义 \[ H^1(M,N):=\left\{ u\in L_{\mathrm{loc}}^1(M,\mathbb{R}^{K+1}):\int_{M}|\nabla u|^2
Author Van Abel Posted on December 13, 2016Categories MATH Leave a comment on 最近点投射的基本性质
假设$N$是一个光滑流形等距地嵌入到$\mathbb{R}^K$, 我们知道存在$N$的管状邻域$N(\delta)\subset\mathbb{R}^K$, 使得定义在$N(\delta)$上的映射$\Pi$: \[ \Pi:y\mapsto x\in N,\quad \mathrm{dist}(y,N)=|y-\Pi(y)|. \] 关于$\Pi$, 我们有如下基本性质. Proposition 1. 假设$\Pi$定义如上, 则 $D\Pi|_y:\mathbb{R}^K\to T_xN$, $x=\Pi(y)$;对$v_1,v_2\in T_xN$, 我们有$\mathrm{Hess}\Pi|_x(v_1,v_2)=-A(x)(v_1,v_2)$.
Author Van Abel Posted on December 8, 2016Categories MATH Leave a comment on Fernando Coda Marques与Andre Neves 解决Willmore猜想
申明: 本文转自Matheus’ Weblog, 原文题目为The Willmore conjecture after Fernando Coda Marques and Andre Neves, 原文作者:matheuscmss. 先翻译至此, 希望有更多的人感兴趣. 在过去的5个月中, 我很高兴地看到有人宣称解决了数学几个领域中的重要的问题和猜想.例如: Ian Agol 宣称证明了3维拓扑中的 virtual Haken 猜想 (参考 D. Calegari 博客的三篇日志). Fernando Codá Marques and André Neves 宣称证明了 Willmore 猜想 (参考 F.Morgan 的这篇文章—非正式的阐述了这一47年之久的猜想) Alex Eskin, Maxim Kontsevich and Anton Zorich 最近完成了关于Kontsevich-Zorich 闭上链 的Lyapunov指数和公式的证明 (该公式由M.Kontsevich于15年前在这篇文章中提出) Alex Eskin and Maryam Mirzakhani最近宣称证明了Abel微分构成的模空间(非齐次)中的一个 Ratner型定理(不变测度的分类).
Author Van Abel Posted on August 22, 2016Categories MATH Leave a comment on 关于两个基底的混合积与行列式的关系
我们有如下基本事实: Theorem 1. 假设$\set{v_1,v_2,\ldots,v_n}$和$w_1,w_2,\ldots,w_n$是$\RR^n$中两个基, 定义$(n-1)\times(n-1)$矩阵 $$ A=\begin{pmatrix}\inner{v_i,w_j}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_1\cdot w_1&v_1\cdot w_2&\cdots&v_1\cdot w_{n-1}\\ v_2\cdot w_1&v_2\cdot w_2&\cdots&v_2\cdot w_{n-1}\\ \vdots &\vdots &&\vdots\\ v_{n-1}\cdot w_1&v_{n-1}\cdot w_2&\cdots&v_{n-1}\cdots w_{n-1} \end{pmatrix}, $$ 则 \begin{equation}\label{eq:res} \inner{v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_{n-1},w_1\wedge w_2\wedge\cdots\wedge w_{n-1}}=\det A. \end{equation}
Author Van Abel Posted on August 19, 2016Categories MATH Leave a comment on 关于正态分布的反例
概率论中一个基本的定理是说 Theorem 1. 如果$(X,Y)$服从二维正态分布, 即其密度函数是: $$ f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Bigg(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\Big[ \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+ \frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} -\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} \Big]\Bigg) $$ 则 $aX+bY$服从一维正态分布;$X,Y$是独立的当且仅当$X,Y$是不相关的.
Author Van Abel Posted on November 23, 2015Categories MATH Leave a comment on Campanato空间$L^{p,n}$与BMO空间的等价性
假设 $\Omega\subset\RR^n$ 是一个有界区域. 我们称其为$(A)$-型域, 如果存在常数$A$, 使得 \[ |\Omega\cap B_r(x)|\geq A r^n. \] 定义Campanato空间 $L^{p,\lambda}(\Omega)$ 如下: 对 $1\leq p< +\infty$, $\lambda >0$, 称 $f\in L^p(\Omega)$ 属于 $L^{p,\lambda}(\Omega)$ 如果 \[[f]_{L^{p,\lambda};\Omega}\eqdef\sup_{x\in\Omega, r>0}\dkf{\frac{1}{r^\lambda}\int_{\Omega_r(x)}|f-f_{x,r}|^p}^{1/p}<+\infty, \]