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Van Abel December 7, 2017MATH和乐群, 曲率, 线丛, 联络, 陈类 Leave a comment

线丛上的联络、曲率、和乐群以及陈类

Contents Contents 1. 线丛的定义 1. 线丛的定义线丛是向量丛的最简单的实例。 Definition 1. 流形$M$(不一定复)上的一个(复)线从$(L,\pi)$, 这里$L$是一个流形, $\pi:L\to M$是光滑满射, 使得每个纤维$L_m:=\pi^{-1}(m)$是一个1维(复)线性空间；局部平凡：对任意的$m\in M$, 存在$M$的开邻域$U\ni m$以及光滑微分同胚$\phi:\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{C}$, 使得$\phi(L_m)=\{m\}\times \mathbb{C}$且$\phi|_{L_m}$是一个线性同构。

Van Abel November 23, 2017MATHPDE, 延拓, 弱解, 边值 Leave a comment

Neuman边值与Dirichlet边值的反射延拓

我们考虑上半圆盘$D$上最简单的Laplace方程: \begin{equation}\label{eq:n} \begin{cases} \Delta u=f\in L^2(D),&x\in D\\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=0,&x\in\partial D \end{cases} \end{equation} 与 \begin{equation}\label{eq:d} \begin{cases} \Delta u=f\in L^2(D),&x\in D\\ u=0,&x\in\partial D. \end{cases} \end{equation} Theorem 1. 若我们对\eqref{eq:n}, 作偶延拓$w(x)=\begin{cases}u(x),&x\in D\\ u(x^*),&x\in D^-\end{cases}$; 对\eqref{eq:d}作奇延拓$w(x)=\begin{cases}u(x),&x\in D\\-u(x^*),&x\in D^-\end{cases}$. 则可验证, 延拓后的$w$是方程\eqref{eq:d}在$B=D\cup D^-$上的$W^{1,2}$弱解。

Van Abel November 16, 2017MATH共形变换, 曲率, 活动标架 Leave a comment

共形变换下曲率关系的活动标架计算方法

假设$(M,g)$是黎曼流形, 令$\tilde g=e^{2\phi} g$, 这里$\phi$是$M$上一个光滑函数. 这时称$(M,g)$与$(M,\tilde g)$共形. 我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系. 活动标架为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设$\set{e_i}$是$(M,g)$的一个幺正标架场, $\set{\omega^i}$是其对偶标架场. $\nabla,\widetilde\nabla$分别表示对应于$g,\tilde g$的黎曼联络, 相应的联络1形式记为$\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j$. (回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.$)

Van Abel November 16, 2017MATHCartan引理, Cartan结构方程, 共形函数, 共形平坦, 高斯曲率 Leave a comment

共形平坦的黎曼曲面的共形函数所满足的方程

$\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand{\Lp}{\Delta\,}$事实上, 假设$\rd s^2=g_{ij}\rd x^i\rd x^j$是$M^2=(\Omega,g)$上的Riemann度量. 要使$M^2$ 是共形平坦的, 那么 \[ \rd s^2=g^{ij}\rd x_i\rd x_j=e^{2\lambda u}\left((\rd x_1)^2+(\rd x_2)^2\right). \] 下面, 我们用活动标架法来计算$M^2$的高斯曲率$K$.

Van Abel September 1, 2017MATHKrasnoselskii, 连续性, 非线性算子 Leave a comment

Krasnoselskii关于复合函数连续性的一个定理

Abstract. Krasnoselskii在[1,Thm.~I.2.1]中给出了有界Nemytskii算子连续性的一个判断, Nemytskii算子一般而言不是线性的, 故这一结果是非常重要的。我们直接陈述定理如下。 Theorem 1. 假设$g:\Omega\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$是一个Carath\’eodory函数, 即$g(x,u)$关于$x\in\Omega$是可测的, 关于$u\in \mathbb{R}^n$是连续的。若$g$满足如下增长条件: 对某个$s\geq1$, \begin{equation}\label{eq:growth-condi} \lvert g(x,u) \rvert\leq C(1+\lvert u \rvert^s). \end{equation} 则对任何的$p\in[1,+\infty)$, Nemytskii算子 \begin{align*} \mathcal{N}\mathpunct{:}L^{sp}(\Omega)&\to L^p(\Omega)\\ u&\mapsto g(\cdot, u(\cdot)) \end{align*} 是连续的。 References M. Krasnosel skii, Topological methods in the theory of nonlinear integral equations, Translated by A. H. Armstrong; translation edited by J. Burlak. A Pergamon Press Book, The Macmillan Co., New York, 1964. xi + 395. MR0159197

Van Abel August 17, 2017MATHJacobian, 映射度 Leave a comment

流形间映射的Jacobian与映射度

假设$\phi\mathpunct{:}(M,g)\to(N,h)$是两个$n$维黎曼流形间的光滑映照。我们的目标是来定义该映照的Jacobian。这对定义映照的度是非常重要的。该定义最重要的是与流形上的坐标选取无关。为此假设$M$上有两套坐标系且其转化函数为$\Phi\mathpunct{:}(x^1,x^2,\ldots,x^n)\to(y^1,y^2,\ldots,y^n)$. 类似地，$N$上也有两套坐标系且其转化函数为$\Psi\mathpunct{:}(u^1,u^2,\ldots,u^n)\to(v^1,v^2,\ldots,v^n)$. 这样，我们知道度量的局部表示为： \begin{align*} \tilde g_{kl}&=g\left(\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial}{\partial y^l}\right),\quad\tilde h_{\alpha\beta}=h\left(\frac{\partial}{\partial v^\alpha},\frac{\partial}{\partial v^\beta}\right),\\ g_{ij}&=g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right) =g\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial y^l}\right)=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\tilde g_{kl},\\ h_{\alpha\beta}&=\frac{\partial v^\gamma}{\partial u^\alpha}\frac{\partial v^\delta}{\partial u^\beta}\tilde h_{\gamma\delta}. \end{align*}