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Van Abel August 2, 2017MATH共变微分, 分部积分, 极坐标 Leave a comment

极坐标下切向共变微分的一个分部积分公式

假设$A$是$G$-主丛$P$的一个联络. 特别地, 我们假设$G$是紧李群, 这样他可视为某个正交群的子群, 进而局部地, 将$A$视为$\mathfrak{g}$-值的1-形式时, $A$是反对称矩阵. 现在假设$u,v$是$P$的局部截面, 则在极坐标系下, $A=A_rdr+A_\theta d\theta$ 以及 $$ \nabla_A u=(d+A)u=u_{|r}dr+u_{|\theta}d\theta,\quad u_{|r}=\partial_r u+A_ru,\quad u_{|\theta}=\partial_\theta u+A_\theta u. $$ 现在, 我们关于$u_{|\theta}v_{|\theta}$有如下的分部积分公式. $$ \int_{S^1}u_{|\theta}\cdot v_{|\theta}=-\int_{S^1}u_{|\theta\theta}\cdot v. $$

Van Abel August 2, 2017MATH极坐标，库伦规范 Leave a comment

极坐标下库伦规范的表示

在既坐标下，欧氏度量可表示为 \[ ds^2=dr^2+r^2d\theta^2. \] 可见，$e_1=\partial_r$, $e_2=r^{-1}\partial\theta$是一个幺正基, 其对偶基为$\omega^1=dr$, $\omega^2=rd\theta$。我们知道，局部库伦规范的条件是 \[ d^*A=0,\quad A=A_rdr+A_\theta d\theta=A_r\omega^1+rA_\theta\omega^2. \] 直接计算可得 \begin{align*} -d^*A&=\left( \nabla_{e_i}A \right)(e_i)=\left( \nabla_{e_i}(A_j\omega^j) \right)(e_i)\\ &=\left( \nabla_{e_i}A_j\omega^j+A_i\nabla_{e_i}\omega^j \right)(e_i)\\ &=\nabla_{e_i}A_i-A_j\omega^j(\nabla_{e_i}e_i). \end{align*}

Van Abel June 14, 2017MATH导数控制, 截断函数 Leave a comment

关于截断函数构造的一个注记

在实际应用过程中, 我们需要构造满足如下条件的截断函数: $$ 0\leq\phi\leq 1,\quad\phi|_{B_{1}}\equiv1,\quad \mathrm{supp}\phi\subset B_2,\quad\lvert \nabla\phi\rvert/\phi\leq 2. $$ 上诉截断函数可以具体的构造为: \begin{align*} f(t)&=\begin{cases} e^{-1/t},&t>0\\ 0,&t\leq0 \end{cases}\\ g(t)&=\frac{f(2-t)}{f(t-1)+f(2-t)}\\ \phi(t)&=g(|t|) \end{align*} 可以验证 \begin{gather*} \phi\in C^\infty,\quad \phi|_{B_1}\equiv 1,\quad \phi|_{B_2^c}\equiv 0,\quad 0\leq\phi\leq 1\\ \phi’/\phi=\begin{cases} \frac{-(5-6|t|+2t^2)\exp\left(\frac{1}{2-3|t|+t^2}\right)\mathrm{Sign}(t)}{\left[(2-3|t|+t^2)\left(\exp\left(\frac{1}{1-|t|}\right)+\exp\left(\frac{1}{|t|-2}\right)\right)\right]^2},&1

Van Abel May 27, 2017MATHYang-Mills, 椭圆性 Leave a comment

Yang–Mills方程的椭圆性验证

通过计算, 好像Yang–Mills方程即使在库伦规范下也不是严格椭圆的啊? 我记得Yang–Mills方程主项是$dd^*A+d^*dA$, 其中$A=A_idx^i$. 则其弱形式是 $$ \int\langle d^*A,d^*B\rangle+\langle dA,dB\rangle=0,\quad\forall B=B_jdx^j\in C_0^\infty. $$ 直接计算, 我们知道 \begin{align*} dA&=d(A_idx^i)=\partial_jA_idx^j\wedge dx^i\\ dB&=\partial_k B_ld^k\wedge dx^l\\ d^*A&=-*d*A=-*d\left((-1)^{i-1}A_idx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n\right)\\ &=-*(\partial_iA_idx^1\wedge\cdots dx^n)\\ &=-\partial_iA_i\\ d^*B&=-\partial_kB_k. \end{align*}

Van Abel March 11, 2017MATHCauchy, Stokes公式, 积分定理 Leave a comment

应用Stokes公式推导Cauchy积分定理

回忆, 单复变中Cauchy积分定理说的是: Theorem 1 (Cauchy integral theorem). 假设$f$是定义在复平面上一单连通开区域$\Omega$上的解析(全纯)函数, 则对任何$\Omega$中的闭曲线$C$, $$ \oint_C f(z)dz=0. $$ 我们想要说明, 它其实可以由实分析中的Stokes公式得到.

Van Abel March 2, 2017MATH子流形, 计算 Leave a comment

关于欧式空间中子流形计算的一个注记

假设$(M^m,g)\hookrightarrow(\mathbb R^n,\bar g)$是嵌入到欧氏空间中的一个子流形. 又设其局部参数表示为$X(u^1,\ldots,u^m)=\bigl(x^1(u^1,\ldots,u^m),\ldots,x^n(u^1,\ldots,u^m)\bigr)$. 有以下两件事情: 首先, $X$在局部坐标下可视为$M\to\mathbb R^n$的一个映射, 而$(M,g)$的诱导度量(因为是嵌入)就是 $$ g=X^*(\bar g) $$ 即 \begin{align*} g_{\alpha\beta}&=g\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right) =X^*(\bar g)\left(\frac{\partial}{\partial u^\alpha},\frac{\partial}{\partial u^\beta}\right) =\bar g\left(\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\\ &=\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^j}{\partial u^\beta}\delta_{ij} =\frac{\partial X^i}{\partial u^\alpha}\frac{\partial X^i}{\partial u^\beta}. \end{align*} 这即是我们常说的第一基本型.