Author Van Abel Posted on March 19, 2022Categories MATHTags ,   Leave a comment on Karamata不等式

Karamata不等式

Karamata不等式是凸优化中重要的不等式，它推广了离散的Jensen不等式，还可进一步推广得到Shur凸函数的概念. Theorem 1. 假设$I$是实数轴上的一个区间。若$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n$以及$\left\{ y_i \right\}_{i=1}^n$都是$I$上的实数序列，满足: $x_1\geq x_2\geq \cdots\geq x_n$以及$y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n$; $\sum_{i=1}^kx_i\geq\sum_{i=1}^ky_i$, 对任意的$k=1,2,\ldots, n$都成立; $\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^ny_i$. 则称$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n$优于(majorize)$\left\{ y_{i=1}^n \right\}$, 记作$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n\succ \left\{ y_{i} \right\}_{i=1}^n$. 若$f:I\to \mathbb{R}$是一个凸函数。即，$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$，对任意的$x,y\in I$都成立。则，对$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n\succ \left\{ y_{i} \right\}_{i=1}^n$, 有 \[ f(x_1)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+\cdots+f(y_n). \]

Author Van Abel Posted on July 28, 2021Categories MATHTags ,   Leave a comment on 欧氏度量、标准球度量在极坐标下的表达式

欧氏度量、标准球度量在极坐标下的表达式

1. 欧氏度量在极坐标下的表达式 假设 \[ \Psi: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^2,\quad x=(x^1,\ldots,x^n)\mapsto (r,\theta=(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}) \] 是欧氏空间中笛卡尔坐标系到球坐标系的变换, 则欧氏度量 \[ ds^2=\sum_{i=1}^n(dx^i)^2, \] 在极坐标系 \[ d\tilde{s}^2=(\Psi^{-1})^*ds^2 \] 下的表示为 \[ d\tilde{s}^2=dr^2+r^2d\sigma^2, \] 其中$d\sigma^2$为$\mathbb{R}^n$(标准欧氏空间)中的单位球的标准度量.

Author Van Abel Posted on July 22, 2021Categories MATHTags   Leave a comment on 黎曼几何的一些题目

黎曼几何的一些题目

这些题目来自天元西南数学中心的青年教师暑期培训. 假设$(M,g)$是$n\geq3$维连通黎曼流形, 若存在$\lambda\in C^\infty(M)$使得$\mathrm{Ric}_M=\lambda g$, 证明: $M$是一个Einstein流形, 即$M$的数量曲率是常数; 当$n=3$时, $M$是常曲率空间; 若$M$的数量曲率不为零, 则$M$上不存在非零的平行向量场. 假设$R_+^n=\left\{ x=(x^1,\ldots,x^n)\in \mathbb{R}^n:x^n>0 \right\}$. 考察其上的黎曼度量$g$, \[ g_{ij}= \begin{cases} 1/(x^n)^2,&i=j=1,2,\ldots,n,\\ 0,&i\neq j. \end{cases} \] 求$(\mathbb{R}_{+}^n,g)$的截面曲率; 求$(\mathbb{R}_+^n,g)$上过点$(0,0,\ldots,0,1)$且初始切向量为单位向量$\nu$(外法向)的测地线; 证明$(\mathbb{R}_+^n,g)$是完备的; 证明$(\mathbb{R}_+^n,g)$在任何一点的指数映射是微分同胚的. 假设$M$是具有正截面曲率的$n$维紧黎曼流形. 证明: $n$为偶数时, 如果$M$可定向, 则它是单连通的; 如果$M$不可定向, 则$\pi_1(M)\cong \mathbb{Z}_2$; $n$为基数时, 则$M$可定向. 并举例说明$M$不一定是单连通的. 假设$(M,g)$是连通的完备黎曼流形, $M$中从$x\in M$出发, 以弧长为参数的测地线$\gamma:[0,+\infty)\to M$称为从$x$出发的射线, 如果$\gamma(0)=x$, 且对任意的$t\in[0,+\infty)$, $\gamma|_{[0,t]}$是连接$x$与$\gamma(t)$的最短曲线, 即$d(x,\gamma(t))=t$. 证明: $M$是非紧的充要条件是对任意的$x\in M$, 在$M$上都有从$x$出发的射线. 假设$M$是可定向的闭流形, $f\in C^\infty(M)$是次调和函数, 即$\Delta_Mf\leq0$, 证明$f$一定是常值函数. 假设$M$是单连通完备黎曼流形, 对任意的$p\in M$, 若$p$点沿所有从$p$出发的径向测地线的第一共轭点都是同一点$q$, 且$p\neq q$, $d(p,q)=\pi$. 证明: 如果$K_M\leq 1$, 则$M$与标准球$S^n$等距.

Author Van Abel Posted on July 20, 2021Categories MATHTags ,   Leave a comment on 复叠空间及其复叠引理、单射群

复叠空间及其复叠引理、单射群

该读书笔记来自Topology and Groups. 1. 复叠映射的两个例子 Example 1. 假设$S=\mathbb{C}\setminus\left\{ 0 \right\}$, 考察连线映射$p: S\to S$, $p(z)=z^2$. 它是一个$2$重满射, 而且局部上有逆映射. 事实上, 如果我们割掉半直线$B^-:=\left\{ z\in S:\mathrm{Im}(z)=0, \mathrm{Re}(z)<0 \right\}$, 则可定义 \[ q_{\pm}: \mathbb{C}\setminus B^-\to \mathbb{C}\setminus\left\{ 0 \right\}, \] 使得$p(q_{\pm}(z))=z$. 这里, $q_{-}=-q_{+}$. 完全类似地, 我们也可以割掉$B^+:=\left\{ z\in S:\mathrm{Im}(z)=0, \mathrm{Re}(z)>0 \right\}$, 进而得到两个映射 \[ \bar{q}_{\pm}: \mathbb{C}\setminus B^+\to \mathbb{C}\setminus\left\{ 0 \right\}, \] 使得$p(\bar{q}_{\pm}(z))=z$.