1. 欧氏度量在极坐标下的表达式
假设
\[
\Psi: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^2,\quad
x=(x^1,\ldots,x^n)\mapsto (r,\theta=(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1})
\]
是欧氏空间中笛卡尔坐标系到球坐标系的变换, 则欧氏度量
\[
ds^2=\sum_{i=1}^n(dx^i)^2,
\]
在极坐标系
\[
d\tilde{s}^2=(\Psi^{-1})^*ds^2
\]
下的表示为
\[
d\tilde{s}^2=dr^2+r^2d\sigma^2,
\]
其中$d\sigma^2$为$\mathbb{R}^n$(标准欧氏空间)中的单位球的标准度量.
注意到
\[
\Psi^{-1}:(r,\theta)\mapsto x,
\]
可表示为
\[
\begin{cases}
x_n=r\cos\phi_{n-1},\\
x_{n-1}=r\sin\phi_{n-1}\cos\phi_{n-2},\\
x_{n-2}=r\sin\phi_{n-1}\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-3},\\
\cdots\\
x_{2}=r\sin\phi_{n-1}\sin\phi_{n-2}\cdots\sin\phi_{2}\cos\phi_{1},\\
x_{1}=r\sin\phi_{n-1}\sin\phi_{n-2}\cdots\sin\phi_{2}\sin\phi_{1},
\end{cases}
\]
从而, 我们可以得到$d\sigma^2$的具体表达式. 例如, 对$n=2,3,4$我们分别有
\begin{align*}
d\sigma_2^2&=d\phi_1^2,\\
d\sigma_3^2&=\sin^2\phi_2d\phi_1^2+d\phi_2^2,\\
d\sigma_4^2&=\sin^2\phi_3\left( \sin^2\phi_2d\phi_1^2+d\phi_2^2 \right)+d\phi_3^2.
\end{align*}
由此, 不难证明,
\[
d\sigma_{k+1}^2=\sin_{k}^2d\sigma_k^2+d\phi_k^2,\quad k=1,2,\ldots,n-1.
\]
2. 标准球度量在极坐标下的表达式
考察半径为$R$的球面上的极坐标
\[
\Psi:S_R^{n-1}\mapsto \mathbb{R}^{n},\quad
(r,\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_{n-2})\mapsto (x_1,x_2,\ldots,x_n),
\]
其中
\[
\begin{cases}
x_n=R\cos(r/R),\\
x_{n-1}=R\sin(r/R)\cos\phi_{n-2},\\
x_{n-2}=R\sin(r/R)\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-3},\\
\cdots\\
x_{2}=R\sin(r/R)\sin\phi_{n-2}\cdots\sin\phi_{2}\cos\phi_{1},\\
x_{1}=R\sin(r/R)\sin\phi_{n-2}\cdots\sin\phi_{2}\sin\phi_{1}.
\end{cases}
\]
容易求得, 对$n=2,3,4$, 我们有
\begin{align*}
d\bar\sigma_1^2&=dr^2,\\
d\bar\sigma_2^2&=dr^2+R^2\sin^2(r/R)d\phi_1^2,\\
d\bar\sigma_3^2&=dr^2+R^2\sin^2(r/R)\left( \sin^2\phi_2d\phi_1^2+d\phi_2^2 \right)
\end{align*}
由此, 我们可以得到递推关系
\[
d\bar\sigma_k^2=dr^2+R^2\sin^2(r/R)d\sigma_{k-1}^2, k=2,\ldots,n-1.
\]
最后, 我给出使用MMA, 几种情况下计算$d\sigma^2$的程序