Theorem 1. 假设$A(t)$是$n\times n$的单参数$n$阶方阵, $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. 若$A(t)$是由$X(t)$生成的, 即满足
\[
A'(t)=X(t)A(t),\quad\forall t\in(-\epsilon,\epsilon),
\]
则
\[
\left( \det A(t) \right)’=\mathrm{tr}\left( X(t) \right)\det A(t).
\]
\[
A'(t)=X(t)A(t),\quad\forall t\in(-\epsilon,\epsilon),
\]
则
\[
\left( \det A(t) \right)’=\mathrm{tr}\left( X(t) \right)\det A(t).
\]
Proof . 回忆, 对矩阵行列式求导的Leibniz法则:
\[
(\det A(t))’=\sum_{i=1}^n\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}’&a_{i2}’&\cdots&a_{in}’\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]
因此, 如果$A'(t)=X(t)A(t)$, 那么$a_{ij}’=\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{kj}$, 从而
\[
\begin{aligned}
(\det A(t))’&=\sum_{i=1}^n\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}’&a_{i2}’&\cdots&a_{in}’\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^n\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{k1}&\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{kn}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n x_{ik}\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^nx_{ii}\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}=\mathrm{tr}(X)\det A.
\end{aligned}
\]
\[
(\det A(t))’=\sum_{i=1}^n\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}’&a_{i2}’&\cdots&a_{in}’\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]
因此, 如果$A'(t)=X(t)A(t)$, 那么$a_{ij}’=\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{kj}$, 从而
\[
\begin{aligned}
(\det A(t))’&=\sum_{i=1}^n\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}’&a_{i2}’&\cdots&a_{in}’\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^n\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{k1}&\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^nx_{ik}a_{kn}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n x_{ik}\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^nx_{ii}\det
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}=\mathrm{tr}(X)\det A.
\end{aligned}
\]
Example 1. 回忆一般线性群$\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$表示复数域$\mathbb{C}$上$n$阶可逆方阵. 子群特殊线性群$\mathbb{SL}(n, \mathbb{C})\subset \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$是满足$A\in \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$, 且$\det A=1$的$n$阶方阵.
由于一个矩阵群的李代数定义为恒等矩阵附近的切向量构成的线性空间(在李括号积作为乘法下构成代数), 从而特殊线性群$\mathrm{SL}(n, \mathbb{C})$的李代数为
\[
0=(\det 1)’=(\det(A(t)))’|_{t=0}=\mathrm{tr}(X)\det A(0)=\mathrm{tr}(X).
\]
即所有的迹为零的$n$阶方阵.
事实上, 上面的例子并没有说明为什么$\mathrm{SL}(n, \mathbb{C})$的切空间中的元素$X$, 满足方程$A’=XA$. 我们下面来解释这一点.
将$\mathbb{SL}(n, \mathbb{C})$中的矩阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$视为$\mathbb{C}^{n\times n}$中的一个向量(按照逐行顺次写出构成一个向量). 从而可以利用 Hermitian 内积定义$\mathrm{SL}(n, \mathbb{C})$上的一个度量, 使得它是一个光滑(复)流形. 因此, 利用指数映射我们得到
\[
A(t)=\exp(tX(0))A(0)\implies A'(0)=(\exp(tX(0))’A(0)=X(0)A(0).
\]
由基点的任意性, 我们得到一般地$A'(t)=X(t)A(t)$.