假设$A,F$分别为流形$M$上的1形式和2形式, 在局部坐标下, 其分量满足方程
\[
x^kF_{kj}=\partial_r(rA_j),
\]
其中$x=(r,\psi)$表示极坐标.
一个自然的问题是, 如果令$y=\tau x$, 那么上述方程变为什么?
我们注意到, $y=\tau x$本质上应该看作流形上的一个坐标变换$\phi: x\to y=\tau x$. 首先来分析坐标变换下, 流形上各种对象的变换规律.
为此, 假设$M$为光滑流形, $p\in M$是一个固定点, $U\ni p$为$M$上$p$点的一个开邻域. 而且有坐标函数$(U,\psi_1;x^i)$, $(U,\psi_2;y^j)$, 其中
\[
\psi_1:U\to \psi_1(U)\subset\mathbb{R}^n,\quad \psi_2:U\to \psi_2(U)\subset\mathbb{R}^n,
\]
为同胚映射.
1. 函数
最简单的是流形上的函数变换规律. 假设$f\in C^\infty(M)$为光滑函数, 则
\[
f(p)=f(\psi_1^{-1}(x))=f(\psi_2^{-1}(y)).
\]
注意到,
\[
\psi_1^{-1}(x)=\psi_2^{-1}\circ \psi_2\circ\psi_1^{-1}(x),
\]
故, 若假设$\phi=\psi_2\circ \psi_1^{-1}$, 则得到
\[
\psi_1^{-1}(x)=\psi_2^{-1}\circ \phi(x).
\]
换言之,
\[
f(p)=f(\psi_2^{-1}(y))=f(\psi_1^{-1}(x))=f(\psi_2^{-1}(\phi(x))).
\]
可见, 函数的变换规律就是直接变量替换$x$为$\phi(x)$.
2. 向量场
考察流形$M$上的光滑向量场$X\in \mathfrak{X}(M)$, 则在局部坐标下
\[
X(p)=X^i(\psi_1^{-1}(x))\left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right\rvert_{\psi_1^{-1}(x)}
=\tilde{X}^j(\psi_2^{-1}(y))\left. \frac{\partial}{\partial y^j} \right\rvert_{\psi_2^{-1}(y)}.
\]
注意到
\[
Xf(p)=X^i(\psi_1^{-1}(x))\left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right\rvert_{\psi_1^{-1}(x)} f
=X^i(\psi_1^{-1}(x))\left. \frac{\partial}{\partial x^i} (f\circ \psi_1^{-1})\right\rvert _{x},
\]
类似地,
\[
Xf(p)=\tilde{X}^j(\psi_2^{-1}(y))\left. \frac{\partial}{\partial y^j} (f\circ \psi_2^{-1})\right\rvert _{y}.
\]
但是, 我们已经得到
\[
f\circ \psi_1^{-1}(x)=f\circ\psi_2^{-1}\circ \phi(x).
\]
因此, 两边对$x^i$求导, 并注意到$y=\phi(x)$, 得到
\[
\frac{\partial}{\partial x^i}\left( f\circ\psi^{-1}_1 \right)
=\frac{\partial \phi^j}{\partial x^i} \cdot
\left. \frac{\partial }{\partial y^j} \left( f\circ \psi_2^{-2} \right)\right\rvert_{\phi(x)} .
\]
(事实上, 我们还得到了
\[
\left. \frac{\partial}{ \partial x^i} \right\rvert_{\psi_1^{-1}(x)}=\left. \frac{\partial\phi^j}{\partial x^i} \right\rvert_{x}\left. \frac{\partial}{\partial y^j} \right\rvert_{\psi_2^{-1}(y)}.
\]
这在后面的推导中有用.)
代人, 并比较我们得到
\[
\tilde{X}^j\left( \psi_2^{-1}(\phi(x)) \right)=\tilde{X}^j\left( \psi_2^{-1}(y) \right)=X^i(\psi_1^{-1}(x))\frac{\partial\phi^j}{\partial x^i}.
\]
可见, 对向量场而言, 其分量在坐标变换下, 不仅要像函数一样替换分量里面的变量$x$为$\phi(x)$, 而且还要额外的乘以Jacobi矩阵$\left(\frac{\partial\phi^j}{\partial x^i}\right)$的逆.
3. 1形式
假设$\omega$为$M$上的1形式, 在局部坐标下,
\[
\omega(p)=w_i(\phi_1^{-1}(x))dx^i=\tilde{w}_j(\psi_2^{-1}(y))dy^j.
\]
由于
\[
w_i(\psi_1^{-1}(x))=\langle \omega(p),\left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right\rvert_p \rangle=\langle \tilde{w}_k(\psi_2^{-1}(y))dy^k,\left. \frac{\partial\phi^j}{\partial x^i} \right\rvert_x \cdot\frac{\partial}{\partial y^j} \rangle=\tilde{w}_j(\psi_2^{-1}(\phi(x)))\frac{\partial \phi^j}{\partial x^i}.
\]
由此可见, 对1形式而言, 其分量在坐标变换下, 不仅要像函数一样替换分量里面的变量$x$为$\phi(x)$, 而且还要额外的乘以Jacobi矩阵$\left( \frac{\partial\phi^j}{\partial x^i} \right)$.
4. 求导数、微分与积分
前面已经知道, 关于求导数满足如下法则
\[
\left. \frac{\partial}{ \partial x^i} \right\rvert_{\psi_1^{-1}(x)}=\left. \frac{\partial\phi^j}{\partial x^i} \right\rvert_{x}\left. \frac{\partial}{\partial y^j} \right\rvert_{\psi_2^{-1}(y)}.
\]
即, 在坐标变换下, 导数的替换规则为乘以Jacobi矩阵$\left( \frac{\partial\phi^j}{\partial x^i} \right)$.
由于
\[
dy^j=\frac{\partial \phi^j}{\partial x^i}dx^i,
\]
可见微分的替换规则为乘以Jacobi矩阵的逆矩阵.
根据外积的基本性质, 容易知道体积元
\[
dv_g=\sqrt{(g_{ij}(x))}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n
\]
是保持不变的. 事实上, 若将Jacobi矩阵$J=\left( \frac{\partial \phi^j}{\partial x^i} \right)$的元素记为$a_{ij}$, 其逆元素记为$b_{ij}$. 则$g_{ij}$作为为2形式的系数变为$a_{ik}a_{jl}g_{kl}$. 故$\sqrt{\det (g_{ij}(x))}=\sqrt{\det (g_{kl}(y))}\det J$. 而
\[
dy^j=a_{ij}dx^i,\quad
dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n=\det Jdx^1\wedge \cdots \wedge dx^n.
\]
由此可见$dv_g$是不变的.
5. 回到原始问题
注意到$F_{kj}$是二形式, 故在坐标变换$\phi:x\to y=\tau x$下, 等式左边变为
\[
\tau x^k\tau^2F_{kj}(\tau x).
\]
等式右边采用了极坐标, 其诱导变换为$\varphi:(r,\psi)\to(\tau r,\psi)$, 故变为
\[
\tau\partial_\rho(\tau r\cdot \tau A_j(\tau r,\psi)),
\]
可见等式变为(令$\rho=\tau r$),
\[
x^kF_{kj}(\tau x)=\partial_\rho\left( r A_j(\tau r, \psi) \right).
\]
由于上述等式恒成立, 特别地, 固定$r$, 我们将其视为$(\tau,\psi)$的函数, 得到$r\frac{\partial}{\partial\rho}=\frac{\partial}{\partial\tau}$, 从而
\[
x^kF_{kj}(\tau x)=\partial_\tau(A_j(\tau r,\psi).
\]