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Karamata不等式是凸优化中重要的不等式，它推广了离散的Jensen不等式，还可进一步推广得到Shur凸函数的概念. Theorem 1. 假设$I$是实数轴上的一个区间。若$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n$以及$\left\{ y_i \right\}_{i=1}^n$都是$I$上的实数序列，满足: $x_1\geq x_2\geq \cdots\geq x_n$以及$y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n$; $\sum_{i=1}^kx_i\geq\sum_{i=1}^ky_i$, 对任意的$k=1,2,\ldots, n$都成立; $\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^ny_i$. 则称$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n$优于(majorize)$\left\{ y_{i=1}^n \right\}$, 记作$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n\succ \left\{ y_{i} \right\}_{i=1}^n$. 若$f:I\to \mathbb{R}$是一个凸函数。即，$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$，对任意的$x,y\in I$都成立。则，对$\left\{ x_i \right\}_{i=1}^n\succ \left\{ y_{i} \right\}_{i=1}^n$, 有 \[ f(x_1)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+\cdots+f(y_n). \]