Tag: 欧氏度量

1. 欧氏度量在极坐标下的表达式 假设 \[ \Psi: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^2,\quad x=(x^1,\ldots,x^n)\mapsto (r,\theta=(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}) \] 是欧氏空间中笛卡尔坐标系到球坐标系的变换, 则欧氏度量 \[ ds^2=\sum_{i=1}^n(dx^i)^2, \] 在极坐标系 \[ d\tilde{s}^2=(\Psi^{-1})^*ds^2 \] 下的表示为 \[ d\tilde{s}^2=dr^2+r^2d\sigma^2, \] 其中$d\sigma^2$为$\mathbb{R}^n$(标准欧氏空间)中的单位球的标准度量.