黎曼几何的一些题目

这些题目来自天元西南数学中心的青年教师暑期培训.

1. 假设$(M,g)$是$n\geq3$维连通黎曼流形, 若存在$\lambda\in C^\infty(M)$使得$\mathrm{Ric}_M=\lambda g$, 证明:
   
   1. $M$是一个Einstein流形, 即$M$的数量曲率是常数;
      
   2. 当$n=3$时, $M$是常曲率空间;
      
   3. 若$M$的数量曲率不为零, 则$M$上不存在非零的平行向量场.
      
2. 假设$R_+^n=\left\{ x=(x^1,\ldots,x^n)\in \mathbb{R}^n:x^n>0 \right\}$. 考察其上的黎曼度量$g$,
   \[
   g_{ij}=
   \begin{cases}
   1/(x^n)^2,&i=j=1,2,\ldots,n,\\
   0,&i\neq j.
   \end{cases}
   \]
   
   1. 求$(\mathbb{R}_{+}^n,g)$的截面曲率;
      
   2. 求$(\mathbb{R}_+^n,g)$上过点$(0,0,\ldots,0,1)$且初始切向量为单位向量$\nu$(外法向)的测地线;
      
   3. 证明$(\mathbb{R}_+^n,g)$是完备的;
      
   4. 证明$(\mathbb{R}_+^n,g)$在任何一点的指数映射是微分同胚的.
      
3. 假设$M$是具有正截面曲率的$n$维紧黎曼流形. 证明:
   
   1. $n$为偶数时, 如果$M$可定向, 则它是单连通的; 如果$M$不可定向, 则$\pi_1(M)\cong \mathbb{Z}_2$;
      
   2. $n$为基数时, 则$M$可定向. 并举例说明$M$不一定是单连通的.
      
4. 假设$(M,g)$是连通的完备黎曼流形, $M$中从$x\in M$出发, 以弧长为参数的测地线$\gamma:[0,+\infty)\to M$称为从$x$出发的射线, 如果$\gamma(0)=x$, 且对任意的$t\in[0,+\infty)$, $\gamma|_{[0,t]}$是连接$x$与$\gamma(t)$的最短曲线, 即$d(x,\gamma(t))=t$. 证明: $M$是非紧的充要条件是对任意的$x\in M$, 在$M$上都有从$x$出发的射线.
   
5. 假设$M$是可定向的闭流形, $f\in C^\infty(M)$是次调和函数, 即$\Delta_Mf\leq0$, 证明$f$一定是常值函数.
   
6. 假设$M$是单连通完备黎曼流形, 对任意的$p\in M$, 若$p$点沿所有从$p$出发的径向测地线的第一共轭点都是同一点$q$, 且$p\neq q$, $d(p,q)=\pi$. 证明: 如果$K_M\leq 1$, 则$M$与标准球$S^n$等距.