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1. 两个向量空间的张量积 1.1. 两个向量空间的乘积空间 假设$V,W$是实数域$\mathbb{R}$上的两个向量空间。则容易验证乘积空间$V\times W$也是实向量空间。$V\times W$上的加法与数乘定义为 \[ (v,w)+(v’,w’)=(v+v’,w+w’),\quad \lambda(v,w)=(\lambda v,\lambda w). \] 称函数$f:V\times W\to \mathbb{R}$是双重实线性的，如果 \begin{align*} f( (v+v’,w) )&=f( (v,w) )+f( (v’,w) ),\\ f( (v,w+w’) )&=f( (v,w) )+f( (v,w’) ). \end{align*} 以及 \begin{align*} f( (\lambda v,w) )&=\lambda f((v,w)),\\ f( (v,\lambda w) )&=\lambda f((v,w)). \end{align*} $V\times W$上全体双重实线性函数构成一个实向量空间，记作$(V\times W)^*$, 它是$V\times W$的对偶空间. 事实上，定义其上的加法和数乘如下 \begin{align*} (f+g) \left((v,w)\right)&=f\left( (v,w) \right)+ g\left( (v,w)\right),\\ (\lambda f)\left( (v,w) \right)&=f\left( \lambda(v,w) \right)=\lambda f\left( (v,w) \right). \end{align*} 容易验证，$(V\times W)^*$在上述加法和数乘下成为一个实向量空间。