Tag: Mobius带 参数化 微分几何

1. 参数方程 考察三维空间中一根长度为一的细棍，在初始时刻它位于$P(a,0,0)$且垂直于$xy$平面, 其中$a >0$. 现在沿着$xy$平面上半径为$a$的圆周匀速转动的同时，还在它于原点形成的平面上绕着$P$匀速转动，且要求$t=2\pi$时，恰好转动半周。则在时刻$t$, 细棍上一点的位置为$(a\cos t, a\sin t,0)+u\sin(t/2)(\cos t, \sin t,0)+(0,0,\cos(t/2))$, 即 \[ \begin{cases} x=\cos t(a+u\sin(t/2)),\\ y=\sin t(a+u\sin(t/2)),\\ z=u\cos(t/2), \end{cases} \] 这里，$t\in[0,2\pi]$, $u\in[-1,1]$. 一个图片可以参考 Figure 1. Mobius带