Grönwall不等式及其在常微分方程解关于参数的光滑依赖性中的应用

1. Grönwall不等式

Theorem 1 (Grönwall 不等式). 假设 $u,v:[a,b]\to\mathbb{R}$ 是连续函数, 且 $u\geq0$. 如果
\[
v(t)\leq C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s,\quad t\in [a,b],
\]
这里 $C$ 是一个常数, 那么
\[
v(t)\leq C\exp\left(
\int_a^t u(s)\rd s
\right).
\]

Proof . 令 $\alpha(t)=C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s$, $\beta(t)=C\exp\left(\int_a^t u(s)\rd s\right)$, 则 $\alpha(a)=C=\beta(a)$, 且$$\left(\frac{\alpha(t)}{\beta(t)}\right)^\prime=\frac{1}{\beta^2(t)}(\alpha^\prime\beta-\alpha\beta^\prime)=\frac{1}{\beta^2(t)}(u v \beta-\alpha\beta u )=\frac{u}{\beta}(v-\alpha),$$ 注意到 $v-\alpha\leq 0$ 以及 $\alpha(a)/\beta(a)=1$, 这样, 若$C>0$ 则 $\beta>0$, 从而 $\alpha/\beta\leq 1$, 即 $\alpha\leq\beta$; 若 $C<0$, 则 $\beta<0$, 从而 $\alpha/\beta\geq 1$, 故仍有 $\alpha\leq \beta$. 若 $C=0$, 则可令 $C_n=1/n$ 利用前面结果并令 $n\to\infty$ 得到 $v(t)\leq 0$.

特别地，若$u$是一个大于零的常数$K$, 则我们得到如下

Corollary 2. 假设$X(t)$是$[t_0,T]$上的一个非负连续实函数，若存在常数$C$以及常数$K>0$使得
\[
X(t)\leq C+K\int_{t_0}^tX(s)ds,
\]
在$t\in[t_0,T]$上恒成立，则
\[
X(t)\leq Ce^{K(t-t_0)},
\]
对任意的$t\in[t_0,T]$都成立。

2. 常微分方程中解关于参数的连续依赖性 2.1. 常微分方程的初值问题考察如下的常微分方程的初值问题:
\begin{equation}
\begin{cases}
\begin{aligned}
\dot x&=f(t,x),\\
x(t_0)&=a,
\end{aligned}
\end{cases}\label{eq:ODE}
\end{equation}
以及带有参数的常微分方程的初值问题：
\begin{equation}
\begin{cases}
\begin{aligned}
\dot x&=f(t,x,\mu),\\
x(t_0)&=a,
\end{aligned}
\end{cases}\label{eq:ODE-para}
\end{equation}
这里$\mu\in \mathbb{R}^k$, $a\in \mathbb{R}^n$, $f(t,x),f(t,x,\mu)$都是从$[t_0,T]\to\mathbb{R}^n$的连续函数。

首先，我们说明初值问题中的初值$a$, 可以转化为带参数初值问题中的参数（初值为零）：事实上，给定\eqref{eq:ODE}的一个解$x=x(t)$, 构造新的函数$\bar x(t):=x(t)-a$, 以及$\bar f(t,\bar x, a):=f(t, x)=f(t,\bar x+a)$, 则
\[
\begin{cases}
\dot{\bar x}=\dot x=f(t,x)=\bar f(t,\bar x, a)\\
\bar x(t_0)=x(t_0)-a=0,
\end{cases}
\]
因此它可以转化为\eqref{eq:ODE-para}的一个解, 且$a$为参数。

反过来，若有\eqref{eq:ODE-para}的一个解$x=x(t)$, 则我们可以构造新的函数$\tilde{x}(t):=(x(t), \mu)\in \mathbb{R}^{n+k}$以及$\tilde{f}(t,\tilde{x}):=(f(t,x,\mu),0)$, 使得
\[
\begin{cases}
\dot{\tilde{x}}=(\dot x,0)=(f(t,x,\mu),0)=\tilde{f}(t,\tilde{x})\\
\dot{\tilde{x}}(t_0)=(x(t_0),\mu)=(a,\mu).
\end{cases}
\]
可见$\tilde x$是初值问题\eqref{eq:ODE}的一个解，而且参数$\mu$是初值的一部分。
2.2. 解的连续依赖性正是由于上述关系，我们只需要讨论常微分方程初值问题\eqref{eq:ODE-para}关于参数$\mu$的连续依赖性或者光滑依赖性。

回忆，对一个带参数的函数$f(t,t):[a,b]\times\Omega\to \mathbb{R}^n$, 称$f(\cdot,t)$是具有Lipschtiz常数$L$的函数，如果对任意的$t\in[a,b]$恒有
\[
\lvert f(x,t)-f(y,t) \rvert\leq L \lvert x-y \rvert,\quad \forall x,y\in\Omega.
\]

函数$x=x(\mu)$的连续模定义为连续递增函数函数$\omega:[0,+\infty]\to[0,+\infty]$, 使得$\lim_{\tau\to0}\omega(\tau)=\omega(0)=0$, 而且$\lvert x(\mu_1)-x(\mu_2) \rvert\leq \omega( \lvert \mu_1-\mu_2 \rvert)$.

Remark 1. 明显地:

如果一个函数具有连续模函数$\omega(t)=L t$, 则称为$L$-Lipschtiz函数，即具有Lipschtiz常数$L$的函数；
如果一个函数具有连续模函数$\omega(t)=L t^\alpha$, 则是$C^\alpha$Hölder连续函数；
如果一个函数具有连续模函数$\omega(t)=L t( \lvert \ln t \rvert+1)$, 则称为几乎Lipschtiz函数(almost Lipschitz function).

Theorem 3 (连续依赖性). 考察如下的两个具有相同初值的带参数的常微分方程组：
\[
\begin{cases}
\dot x_i=f(t,x_i,\mu_i)\\
x_i(t_0)=a.
\end{cases}
\]
这里，$x_i:[t_0-\alpha,t_0+\alpha]\to \mathbb{R}^n$, $f:\Omega \to \mathbb{R}^n$, $\Omega:=[t_0-\alpha,t_0+\alpha]\times\Omega_1\times\Omega_2\subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k$, 满足如下条件：

$f(t,\cdot,\mu)$是具有Lipschitz常数$L_1>0$的函数;
$f(t,x,\cdot)$是具有Lipschitz常数$L_2>0$的函数;

则有
\[
\lvert x_1(t)-x_2(t) \rvert\leq \frac{L_2}{L_1} \lvert \mu_1-\mu_2 \rvert \left(e^{L_1 \lvert t-t_0 \rvert}-1\right),\quad
\forall t\in [t_0-\alpha,t_0+\alpha].
\]

Corollary 4. 特别地,

假设\eqref{eq:ODE-para}中的函数$f$关于$x,\mu$都是Lipschitz连续的，则它的解关于参数$\mu$是连续的，而且其连续模指数依赖于$\lvert t-t_0 \rvert$;
由于\eqref{eq:ODE}与\eqref{eq:ODE-para}的等价性，我们知道如果\eqref{eq:ODE}中的函数$f$关于$x$是$L$-Lipschtiz连续的，这也是Picard–Lindelöf局部存在性定理的假设条件，则\eqref{eq:ODE}关于初值是连续依赖的。且此时，对任意的$t\in[t_0-\alpha,t_0+\alpha]$, $x(t,\mu_i)=x_i(t)$的连续模函数为$\omega(\tau)=(e^{L(t-t_0)}-1)\tau$.

Theorem 3的证明依赖于前面提到的Grönwall不等式。

Proof (Theorem 3的证明). 对任意的$t\in[t_0-\alpha,t_0+\alpha]$, 我们有
\begin{align*}
\lvert x_1(t)-x_2(t) \rvert &= \left\lvert \int_{t_0}^t\left( f(s,x_1(s),\mu_1)-f(s,x_2(s),\mu_2) \right)ds \right\rvert\\
&\leq\int_{t_0}^t \lvert f(s,x_1(s),\mu_1)-f(s,x_2(s),\mu_2) \rvert ds\\
&\leq\int_{t_0}^t \lvert f(s,x_1(s),\mu_1)-f(s,x_1(s),\mu_2) \rvert ds+ \int_{t_0}^t\lvert f(s,x_1(s),\mu_2)-f(s,x_2(s),\mu_2) \rvert ds\\
&\leq \int_{t_0}^t \left( L_2\lvert \mu_1-\mu_2 \rvert + L_1\lvert x_1(s)-x_2(s) \rvert\right) ds.
\end{align*}
现在，若令
\[
X(t)=L_2\lvert \mu_1-\mu_2 \rvert + L_1\lvert x_1(t)-x_2(t) \rvert,
\]
则上面的计算表明
\[
X(t)\leq L_2 \lvert \mu_1-\mu_2 \rvert+ L_1\int_{t_0}^{t} X(s)ds.
\]
因此，从Grönwall不等式的推论知道
\[
X(t)\leq L_2 \lvert \mu_1-\mu_2 \rvert e^{L_1(t-t_0)}.
\]
由此，容易得到结论成立。

主要参考这里的讲义：http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/lec6.pdf

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