实向量空间的复化

1. 两个向量空间的张量积 1.1. 两个向量空间的乘积空间 假设$V,W$是实数域$\mathbb{R}$上的两个向量空间。则容易验证乘积空间$V\times W$也是实向量空间。$V\times W$上的加法与数乘定义为
\[
(v,w)+(v’,w’)=(v+v’,w+w’),\quad
\lambda(v,w)=(\lambda v,\lambda w).
\]

称函数$f:V\times W\to \mathbb{R}$是双重实线性的，如果
\begin{align*}
f( (v+v’,w) )&=f( (v,w) )+f( (v’,w) ),\\
f( (v,w+w’) )&=f( (v,w) )+f( (v,w’) ).
\end{align*}
以及
\begin{align*}
f( (\lambda v,w) )&=\lambda f((v,w)),\\
f( (v,\lambda w) )&=\lambda f((v,w)).
\end{align*}

$V\times W$上全体双重实线性函数构成一个实向量空间，记作$(V\times W)^*$, 它是$V\times W$的对偶空间. 事实上，定义其上的加法和数乘如下
\begin{align*}
(f+g) \left((v,w)\right)&=f\left( (v,w) \right)+ g\left( (v,w)\right),\\
(\lambda f)\left( (v,w) \right)&=f\left( \lambda(v,w) \right)=\lambda f\left( (v,w) \right).
\end{align*}
容易验证，$(V\times W)^*$在上述加法和数乘下成为一个实向量空间。

1.2. 关于对偶空间的基本事实 假设$V$是实向量空间，它有基底$V=\mathrm{span}\left\{ e_i \right\}_{i=1}^n$, 则其对偶空间（即$V$上全体线性映射构成的实向量空间)$V^*$有基底$V^*=\mathrm{span}\left\{ e_i^* \right\}_{i=1}^n$. 这里，$e_i^*\in V^*$定义为
\[
e_i^*(e_j)=\delta_{ij},
\]
故, 若$v=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i$, 则
\[
e_i^*(v)=e_i^*\left( \sum_{j=1}^n\lambda_je_j \right)=\sum_{j=1}^n\lambda_j e_i^*(e_j)=\sum_{j=1}^n\lambda_j\delta_{ij}=\lambda_i.
\]
因此， $e_i^*$也称为取坐标映射。

事实上，定义$\tau: V\to V^*$, $v=\lambda_ie_i\mapsto \lambda_ie_i^*=\tau(v)=:v^*$. 则容易根据$V^*$中加法和数乘的定义验证$\tau(v+v’)=\tau(v)+\tau(v’)$以及$\tau(\lambda v)=\lambda\tau(v)$.

此外，$\tau$还不依赖于基底的选取，即若$v=\sum_i\lambda_ie_i=\sum_j\tilde{\lambda}_j\tilde e_j$, 则$\tau(v)=\sum_i\lambda_ie_i^*=\sum_j\tilde{\lambda}_j \tilde{e_j}^*$. 验证如下:
\begin{align*}
\tilde{e}_j&=\sum_ie_ia_{ij},\quad v=\sum_i\lambda_ie_i= \sum_j \tilde{\lambda}_j \tilde{e}_j=\sum_j \tilde{\lambda}_j\sum_ia_{ji}e_i,\\
\lambda_i&=\sum_j \tilde{\lambda}_ja_{ji}\iff \tilde{\lambda}_j=\sum_ib_{ji}\lambda_i, B=(b_{ij})=A^{-1}, A=(a_{ij})\\
\sum_j\tilde{\lambda}_j \tilde{e}_j^*
&=\sum_j\left( \sum_ib_{ji}\lambda_i \right)\left( \sum_ka_{kj}e_k \right)^*
=\sum_j\left( \sum_ib_{ji}\lambda_i \right)\tau\left( \sum_ka_{kj}e_k \right)\\
&=\sum_j\left( \sum_ib_{ji}\lambda_i \right) \sum_ka_{kj}\tau\left(e_k \right)
=\sum_j\left( \sum_ib_{ji}\lambda_i \right) \sum_ka_{kj}e_k^*\\
&=\sum_{i,j,k}a_{kj}b_{ji}\lambda_ie_k^*=\sum_{i,j,k}\delta_{ki}\lambda_ie_k^*=\sum_i\lambda_ie_i^*.
\end{align*}
因此我们称$\tau$为一个典则同构。

下面，我们来说明$V^*$的对偶空间可以自然等同于$V$. 事实上， 假设$\varphi\in (V^*)^*$, 即$V^*$上的实线性函数，则对任意的$v^*=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i^*\in V^*$, 我们有
\begin{align*}
\varphi(v^*)&=\sum_{i=1}^n\lambda_i\varphi(e_i^*)=\sum_{i=1}^n\varphi(e_i^*)\sum_{j=1}^n\lambda_j\delta_{ij}
=\sum_{i=1}^n\varphi(e_i^*)\sum_{j=1}^n\lambda_je_j^*(e_i)\\
&=\sum_{i=1}^n\varphi(e_i^*)v^*(e_i)=v^*\left( \sum_{i=1}^n\varphi(e_i^*)e_i \right),
\end{align*}
因此，若定义$v_\varphi=\sum_{i=1}^n\varphi(e_i^*)e_i$, 则对任意的$v^*\in V^*$, 我们都有
\[
\varphi(v^*)=v^*(v_\varphi).
\]
现在，如果我们定义
\[
\left\langle v_\varphi,v^* \right\rangle=v^*(v_\varphi)=\varphi(v^*),
\]
则$ \left\langle v_\varphi,\cdot \right\rangle$事实上诱导了$V^*$上一个线性函数: 直接验证知道
\begin{align*}
\left\langle v_\varphi,v_1^*+v_2^* \right\rangle&=(v_1^*+v_2^*)(v_\varphi)=v_1^*(v_\varphi)+v_2^*(v_\varphi)= \left\langle v_\varphi,v_1^* \right\rangle+ \left\langle v_\varphi,v_2^* \right\rangle,\\
\left\langle v_\varphi,\lambda v^* \right\rangle&=(\lambda v^*)(v_\varphi)=v^*(\lambda v_\varphi)=\lambda v^*(v_\varphi)=\lambda \left\langle v_\varphi,v^* \right\rangle.
\end{align*}
因此，$\varphi= \left\langle v_\varphi,\cdot \right\rangle$. 特别地，我们得到同构映射
\[
\sigma: (V^*)^*\to V,\quad \varphi\mapsto v_\varphi.
\]

关于上述映射$\sigma$的线性性验证如下：对任意的$\varphi_1,\varphi_2\in (V^*)^*$, 以及任意的实数$\lambda\in \mathbb{R}$, 有
\begin{align*}
v_{\varphi_1+\lambda\varphi_2}&=\sum_i(\varphi_1+\lambda\varphi_2)(e_i^*)e_i
=\sum_i\left( \varphi_1(e_i^*)+\lambda\varphi_2(e_i^*) \right)e_i\\
&=\sum_i\left( \varphi_1(e_i^*)e_i+\lambda\varphi_2(e_i^*)e_i \right)
=v_{\varphi_1}+\lambda v_{\varphi_2}.
\end{align*}
则表明
\[
\sigma(\varphi_1+\lambda \varphi_2)=v_{\varphi_1+\lambda \varphi_2}=v_{\varphi_1}+\lambda v_{\varphi_2}=\sigma(\varphi_1)+\lambda \sigma(\varphi_2).
\]
即$\sigma$是线性映射。

如果我们定义$V^*$上的取坐标映射$(e_i^*)^*(e_j^*)=\delta_{ij}$, 则
\[
v_{(e_i^*)^*}=\sum_j(e_i^*)^*(e_j^*)e_j=\sum_j\delta_{ij}e_j=e_i.
\]
则表明$\sigma((e_i^*)^*)=e_i$, 从而$\sigma\left(\sum_i\lambda_i(e_i^*)^*\right)=\sum_i\lambda_i\sigma\left((e_i^*)^*\right)=\sum_i\lambda_ie_i$. 可见若令取坐标映射诱导的同构分别为$\tau_1: V\to V^*$, $\tau_2:V^*\to (V^*)^*$, 则$\sigma^{-1}=\tau_2\tau_1$, 它是与基底选取无关的自然同构.

总结起来，我们得到

1.3. 两个向量空间的张量积 现在假设$V,W$是两个向量空间，其对偶空间分别为$V^*,W^*$. 给定$v\in V, w\in W$, 我们可以定义$V^*\times W^*$上的双线性函数$v\otimes w$, 如下
\[
(v\otimes w)(v^*,w^*):=\sigma^{-1}(v)(v^*)\cdot\sigma^{-1}(w)(w^*)= \left\langle v,v^* \right\rangle\cdot \left\langle w,w^* \right\rangle.
\]
按照$ \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle$的双线性容易知道$v\otimes w$确实是$V^*\times W^*$上的双线性函数。我们将$V^*\times W^*$上的实双线性函数全体记为$\mathscr{L}(V^*,W^*)$. 注意$V^*\times W^*$上的实双线性函数不一定是$V^*\times W^*$上的线性函数, 反之亦然。故$\mathscr{L}(V^*,W^*)$与对偶空间$(V^*\times W^*)^*$没有相互包含关系。

进一步地，同样根据$ \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle$的双线性容易知道,

由此，我们得到$V$与$W$的张量空间的定义

假设$V=\mathrm{span}\left\{ e_i \right\}_{i=1}^n$, $W=\mathrm{span}\left\{ f_\alpha \right\}_{\alpha=1}^m$, 其中$\left\{ e_i \right\}_{i=1}^n$, $\left\{ f_\alpha \right\}_{\alpha=1}^m$分别是基底, 相应对对偶基用*表示。 则对$V\ni v=\sum_i \lambda_ie_i=\sum_i e_i^*(v)e_i$, $W\ni w=\sum \mu_\alpha f_\alpha=f_\alpha^*(w)f_\alpha$, 利用$\otimes$的双线性性，我们有
\[
v\otimes w=\sum_{i,\alpha}\lambda_i\mu_\alpha e_i\otimes f_\alpha
=\sum_{i,\alpha}e_i^*(v)f_\alpha^*(w)e_i\otimes f_\alpha.
\]
因此，$V\otimes W$也可以由$\left\{ e_i\otimes f_\alpha \right\}_{i,\alpha}$生成。此外，这个生成元集合还是线性无关的。事实上，若
\[
\sum_{i,\alpha}a_{i,\alpha}e_i\otimes f_\alpha=0,
\]
则
\[
0=\left( \sum_{i,\alpha}a_{i,\alpha}e_i\otimes f_\alpha \right)(e_j^*,f_\beta^*)=\sum_{i,\alpha}a_{i,\alpha}\left( e_i\otimes f_\alpha(e_j^*,f_\beta^*) \right)=\sum_{i,\alpha}a_{i,\alpha}\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}=a_{j,\beta}.
\]
因此，我们证明了$V\otimes W$的一个基底为$\left\{ e_i\otimes f_\alpha \right\}_{i,\alpha}$.

由于$\dim \mathscr{L}(V^*, W^* )=\dim V^*\times W^*=\dim V\times\dim W$, 我们知道
\[
V\otimes W=\mathscr{L}(V^*,W^*).
\]

最后，我们来讨论$V\otimes W$的对偶空间。注意到，上面关于张量空间$V\otimes W$的定义, 完全可以类似定义张量空间$V^*\otimes W^*$. 特别地按照$V^*\otimes W^*$的定义，对任意的$v^*\in V^*, w^*\in W^*$, 我们知道$v^*\otimes w^*\in V^*\otimes W^*$, 而且它是$(V^*)^*\times (W^*)^*$上的双线性函数, 其定义如下, 对$v\in V, w\in W$,
\[
(v^*\otimes w^*)(\sigma^{-1}(v),\sigma^{-1}(w)):= \sigma^{-1}(v)(v^*) \cdot \sigma^{-1}(w)(w^*)
= \left\langle v,v^* \right\rangle\cdot \left\langle w,w^* \right\rangle.
\]
由此，我们其实可以定义
\[
(v^*\otimes w^*)(v,w):= \left\langle v,v^* \right\rangle\cdot \left\langle w,w^* \right\rangle,
\]
它是$V\times W$上的双线性函数。问题是：我们是否可以利用这个双线性函数定义一个在$V\otimes W$上的线性函数，使得下面的图交换
\begin{CD}
V\times W@>v^*\otimes w^*>> \mathbb{R}\\
@VV\otimes V @AA {\exists!g} A\\
V\otimes W @>\mathrm{id}>> V\otimes W
\end{CD}
这正是下面定理证明的，张量空间具有泛性质(Universal property). 即

利用张量积的泛性质，我们知道$v^*\times w^*$作为$V\times W$上的双线性函数可以唯一诱导$V\otimes W$上的一个线性函数, 即$(V\otimes W)^*$中一个元素。这样，我们将$V^*\otimes W^*$嵌入到$(V\otimes W)^*$. 根据维数公式$\dim (V^*\otimes W^*)=\dim V^*\cdot \dim W^*=\dim V\cdot \dim W=\dim (V\otimes W)^*$, 我们知道$V^*\otimes W^*\cong (V\otimes W)^*$.
2. 实向量空间的复化 现在考察特殊的$W$, 它就是复数域$\mathbb{C}$, 当然可以视为2维实向量空间。因此有张量空间（实向量空间）$V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$, 这里只是为了强调该张量空间的数乘是实数。一件有意思的事情是我们可以恰当的定义复数乘法，使得它成为一个复向量空间。

为此，对任意给定的$z_0\in \mathbb{C}$, 考察映射$\rho_{z_0}: V\times \mathbb{C}\to V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$, $(v,z)\mapsto v\otimes(zz_0)$.

利用张量积的泛性质，我们知道存在唯一的线性映射$ \tilde{\rho}_{z_0}: V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\to V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, 使得$\rho_{z_0}= \tilde{\rho}_{z_0} \circ \varphi$, 即
\[
\tilde{\rho}_{z_0}(v\otimes z)=\rho_{z_0}(v,z)=v\otimes (zz_0).
\]
因此，但$z_0\in \mathbb{C}$取遍时，我们得到映射
\[
(V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C})\times \mathbb{C}\to V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C},\quad
(v\otimes z,z’)\mapsto v\otimes (zz’).
\]
这就定义了$V \otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$上的$\mathbb{C}$-数乘。即
\[
z’\cdot (v\otimes z)=v\otimes (zz’).
\]
结合$V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$原来的加法，$V \otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$成为一个复向量空间，称为实向量空间$V$的复化, 将其简记为$V_{\mathbb{C}}$。

容易知道复向量空间$V_{\mathbb{C}}$作为复数域上的向量空间，有基底$\left\{ e_i\otimes 1 \right\}$. 事实上， 作为集合$V_{\mathbb{C}}$和$V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$相同，即它是所有形如$\left\{ v\otimes z:v\in V, z\in \mathbb{C} \right\}$ 的实线性组合形成的集合。注意到，$\mathbb{C}$作为实向量空间有基底$\left\{ 1, \sqrt{-1} \right\}$, 因此任意$V_{\mathbb{C}}$中的元素可表示为
\[
\sum_i\left(\lambda_i(e_i\otimes 1)+\mu_i(e_i\otimes \sqrt{-1})\right),
\]
其中$\lambda_i,\mu_i\in \mathbb{R}$. 现在注意到，按照$V_{\mathbb{C}}$中复-数乘的定义，我们有
\begin{align*}
\sum_i (\lambda_i+ \sqrt{-1}\mu_i)\cdot (e_i\otimes 1)&=\sum_ie_i\otimes (1\cdot \left( \lambda_i+ \sqrt{-1}\mu_i \right)\\
&=\sum_{i}e_i \otimes \left( \lambda_i+ \sqrt{-1}\mu_i \right)\\
&=\sum_i \left(\lambda_i (e_i \otimes 1)+ \mu_i e_i \otimes \sqrt{-1}\right).
\end{align*}
最后一步利用了张量积的多重线性性。可见$V_{\mathbb{C}}=\mathrm{span}\left\{ e_i\otimes 1: e_i\in V \right\}$. 最后，还可以验证该生成集合是线性无关的，从而$V_{\mathbb{C}}$作为复向量空间，它的维数和$V$的维数相同。事实上，假设存在复数$z_i=a_i+ \sqrt{-1}b_i$, $a_i,b_i\in \mathbb{R}$, 使得
\[
0=\sum_iz_i\cdot (e_i\otimes 1)=\sum_i e_i\otimes 1\cdot z_i=\sum_{i}e_i \otimes (a_i+ \sqrt{-1}b_i)
=\sum_i \left( a_i(e_i \otimes 1)+b_i (e_i \otimes \sqrt{-1}) \right),
\]
由于$V_{\mathbb{C}}=V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$作为实向量空间，$\left\{ e_i\otimes 1,e_i\otimes \sqrt{-1} \right\}$为其基底，可见$a_i=0=b_i$对所有的$i$都成立。故$z_i\equiv0$. 这就验证了$\left\{ e_i \otimes1 \right\}$是复向量空间$V_{\mathbb{C}}$的基底。