1. 参数方程
考察三维空间中一根长度为一的细棍，在初始时刻它位于$P(a,0,0)$且垂直于$xy$平面, 其中$a >0$. 现在沿着$xy$平面上半径为$a$的圆周匀速转动的同时，还在它于原点形成的平面上绕着$P$匀速转动，且要求$t=2\pi$时，恰好转动半周。则在时刻$t$, 细棍上一点的位置为$(a\cos t, a\sin t,0)+u\sin(t/2)(\cos t, \sin t,0)+(0,0,\cos(t/2))$, 即
\[
\begin{cases}
x=\cos t(a+u\sin(t/2)),\\
y=\sin t(a+u\sin(t/2)),\\
z=u\cos(t/2),
\end{cases}
\]
这里，$t\in[0,2\pi]$, $u\in[-1,1]$. 一个图片可以参考
容易验证如下事实：参数$(0,-1+v)$与参数$(2\pi,1-v)$对应的点相同，即将$t=0$时刻和$t=2\pi$时刻反向粘起来。
2. 定向性
考场Mobius带上一个沿着中心曲线$\gamma(t)=r(0,t)=(a\cos t, a\sin t, 0)$移动的质点，如果该质点始终带着一个右手切标架（在切平面上，将沿着$\gamma$的切向量逆时针旋转90度, 注意我们用到了参数曲面的法向量$e_3$, 表达式比较复杂)， 即
\[
e_1=(-\sin t,\cos t,0),\quad e_2=e_3\wedge e_1=(\cos t\sin(t/2),\sin t\sin(t/2),\cos(t/2)).
\]
可见，在$t=0$和$t=2\pi$时，有
\[
e_1(0)=e_1(2\pi)=(0,1,0),\quad
e_2(0)=-e_2(2\pi)=(0,0,1).
\]
则表明沿着曲线运动一周后标架发生了翻转。这就是Mobius带不可定向的数学解释。
3. Gauss曲率于平均曲率
容易计算得到，
\[
K=-\frac{4 a^2}{\left(4 a^2+8au\sin(t/2)-2 u^2 \cos t+3 u^2\right)^2},\quad
H=\frac{4 \cos (t/2 ) \left(u^2 \cos t-2 \left(a^2+2a u \sin(t/2)+u^2\right)\right)}{\left(4 a^2+ 8au \sin(t/2)-2 u^2 \cos t+3 u^2\right)^{3/2}}.
\]