Campanato空间$L^{p,n}$与BMO空间的等价性

假设 $\Omega\subset\RR^n$ 是一个有界区域. 我们称其为$(A)$-型域, 如果存在常数$A$, 使得
\[
|\Omega\cap B_r(x)|\geq A r^n.
\]
定义Campanato空间 $L^{p,\lambda}(\Omega)$ 如下: 对 $1\leq p< +\infty$, $\lambda >0$, 称 $f\in L^p(\Omega)$ 属于 $L^{p,\lambda}(\Omega)$ 如果
\[[f]_{L^{p,\lambda};\Omega}\eqdef\sup_{x\in\Omega, r>0}\dkf{\frac{1}{r^\lambda}\int_{\Omega_r(x)}|f-f_{x,r}|^p}^{1/p}<+\infty, \]

其中$\Omega_r(x)=\Omega\cap B_r(x)$, $f_{x,r}$ 定义为 \[ f_{x,r}\eqdef\frac{1}{|\Omega_r(x)|}\int_{\Omega_r(x)}fdx. \]
定义BMO(有界平均震荡)空间如下: 假设 $f\in L^1_{\loc}(\Omega)$, 称 $f\in\BMO(\Omega)$, 如果
\[ [f]_{\BMO;\Omega}\eqdef\sup_{x\in\Omega, r>0}\frac{1}{|\Omega_r(x)|}\int_{\Omega_r(x)}|f-f_{x,r}|dx< +\infty. \]
由于在Caleron-Zygmund分解中常用的是方体, 我们首先来看上述定义中, 方体和球是等价的.

Proposition 1. 假设$\Omega\subset\RR^N$是$(A)$-型有界域, 则存在常数$C(n,A)>0$, 使得
\[
\frac{1}{C(n,A)}\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}}\leq\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{cubes}}\leq C(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}}.
\]

事实上, 我们只需观察到对任一方体$Q_r$, 球$B_{r}\subset Q\subset B_{\sqrt nr}$,
\begin{align*}
\frac{1}{|Q_r\cap\Omega|}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|&\leq\frac{|B_{\sqrt nr}\cap\Omega|}{|Q_r\cap\Omega|}\frac{1}{|B_{\sqrt nr}\cap\Omega|}\int_{B_{\sqrt nr}\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|\\
&\leq\frac{|B_1|(\sqrt n)^n}{A}\frac{1}{|B_{\sqrt nr}\cap\Omega|}\int_{B_{\sqrt nr}\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|\\
&\leq C(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}},
\end{align*}
其中
\[
f_{x,\sqrt nr}\eqdef\frac{1}{|B_{\sqrt nr}(x)\cap\Omega|}\int_{B_{\sqrt nr}(x)\cap\Omega}f(y)dy.
\]
令
\[
f_{x,Q_r}\eqdef\frac{1}{|Q_r\cap\Omega|}\int_{Q_r\cap\Omega}f(y)dy.
\]
结合
\begin{align*}
\frac{1}{|Q_r\cap\Omega|}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,Q_r}|&\leq
\frac{1}{|Q_r\cap\Omega|}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|+|f_{x,\sqrt nr}-f_{x,Q_r}|\\
&\leq C(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}}\\
&\qquad+\frac{1}{|Q_r\cap\Omega|}\int_{Q_r\cap\Omega}|f_{x,\sqrt nr}-f(y)|dy\\
&\leq C(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}},
\end{align*}
知
\[
\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{cubes}}\leq C(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}}.
\]
反过来,
\begin{align*}
\frac{1}{|\Omega_{x,r}|}\int_{\Omega_{x,r}}|f-f_{Q_r}|
&\leq \frac{|Q_r\cap\Omega|}{|\Omega_{x,r}|}\frac{1}{|Q_r\cap\Omega|} \int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{Q_r}|\\
&\leq \frac{2^n}{A}\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{cubes}}\\
&\leq C'(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{cubes}},
\end{align*}
然后利用上面同样的技巧说明
\[
\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{balls}}\leq C'(n,A)\|f\|_{\BMO(\Omega);\mathrm{cubes}}.
\]
对一般的$L^{p,\lambda}(\Omega)$, 我们也有上述等价关系.

Proposition 2. 假设$\Omega\subset\RR^n$是有界域, $1\leq p<+\infty$, $\lambda>0$, 存在常数$C(p)=2^p>0$, 使得, 对任意的 $f\in L^p(\Omega)$,
\[
\frac{1}{C(p)}\|f\|_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}}\leq\|f\|_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{cubes}}\leq C(p)\|f\|_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}}.
\]

Proof . 证明仿照$\BMO$ ($\BMO=L^{1,n}$). 非常容易得到估计
\begin{align*}
\frac{1}{r^\lambda}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|^pdx&\leq
\frac{1}{r^\lambda}\int_{B_{\sqrt nr}\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|^pdx\\
&\leq \|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}},
\end{align*}
以及
\begin{align*}
\frac{1}{r^\lambda}\int_{B_r\cap\Omega}|f-f_{x,Q_r}|^pdx
&\leq\frac{1}{r^\lambda}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,Q_r}|^pdx\\
&\leq \|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{cubes}}.
\end{align*}
接下来的插值技巧变化为(利用H\”older不等式),
\begin{align*}
\frac{1}{r^{\lambda}}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,Q_r}|^pdx
&\leq 2^{p-1}\Biggl\{\frac{1}{r^{\lambda}}\int_{Q_r\cap\Omega}|f-f_{x,\sqrt nr}|^pdx\\
&\qquad\qquad+\frac{1}{r^{\lambda}}|Q_r\cap\Omega||f_{x,\sqrt nr}-f_{x,Q_r}|^p\Biggr\}\\
&\leq 2^{p-1}\xkf{\|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}}
+r^{-\lambda}\|f-f_{x,\sqrt nr}\|^p_{L^p(Q_r\cap\Omega)}}\\
&\leq 2^p\|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}},
\end{align*}
可见
\[
\|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{cubes}}\leq 2^p\|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}}.
\]
完全类似证明
\[
2^{-p}\|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{balls}}
\leq\|f\|^p_{L^{p,\lambda}(\Omega);\mathrm{cubes}}.
\]

接下来, 我们将证明

Theorem 3. 假设 $\Omega\subset\RR^n$ 是 $(A)$-型有界域. 对所有的 $1\leq p<+\infty$, 存在常数 $C(n,p,A)>0$, 使得
\[
\frac{1}{C(n,p,A)}\|f\|_{\BMO(\Omega)}\leq\|f\|_{L^{p,n}(\Omega)}\leq C(n,p,A)\|f\|_{\BMO(\Omega)}.
\]

Proof . 首先回忆 $\|f\|_{L^p(\Omega)}$ 的分别布定义. 由Fubini定理易知,
\begin{align*}
\int_0^\infty|\set{x\in\Omega:|f(x)|>t}|dt&=\int_0^\infty\int_\Omega\chi_{|f(x)|>t}(x)dxdt\\
&=\int_{\Omega}\int_0^\infty\chi_{t<|f(x)|}(t)dt dx\\ &=\int_\Omega\int_0^{|f(x)|}dx\\ &=\int_{\Omega}|f(x)|dx. \end{align*} 现在, 容易得到 \begin{align*} \int_\Omega|f(x)|^pdx&=\int_0^\infty|\set{x\in\Omega:|f(x)|^p>t}|dt\\
&=\int_0^\infty|\set{x\in\Omega:|f(x)|>\alpha}|d(\alpha^p)\\
&=p\int_0^\infty\alpha^{p-1}|\set{x\in\Omega:|f(x)|>\alpha}|d\alpha.
\end{align*}

下面, 我们需要如下重要的John-Nirenberg引理.

Lemma 4. 假设 $\Omega=Q_0$ 是一个方体, 则对任意的 $f\in\BMO(\Omega)$, 存在常数 $C_1(n)=e^{2^ne}$, $C_2(n)=(2^ne)^{-1}$, 使得
\[
|\set{x\in Q:|f-f_Q|>\alpha}|\leq C_1(n)|Q|e^{-C_2(n)\alpha/\|f\|_{\BMO(\Omega)}},\quad\forall Q\subset\Omega.
\]
其中$f_Q=\frac{1}{|Q|}\int_Qf(x)dx$.

其证明可参考(Han Qin \& Lin Fang-hua, p. 53ff).

利用上述引理, 我们得到
\begin{align*}
\frac{1}{|Q|}\int_Q|f(x)-f_Q|^pdx&=\frac{p}{|Q|}\int_0^\infty\alpha^{p-1}|\set{x\in Q:|f(x)-f_Q|>\alpha}|d\alpha\\
&\leq \frac{C_1(n)p}{|Q|}|Q|\int_0^\infty\alpha^{p-1}e^{-C_2(n)\alpha/\|f\|_{BMO(\Omega)}}d\alpha\\
&=C_1(n)p\Gamma(p)\frac{\|f\|_{\BMO(\Omega)}^p}{C_2(n)^p}.
\end{align*}
其中, $\Gamma(p)=\int_0^\infty\alpha^{p-1}e^{-\alpha}d\alpha$ 是Gamma函数(对$p>0$绝对收敛). 利用$L^{p,\lambda}$与$\BMO$定义中方体与球给出的定义的等价性, 容易得到
\[
\|f\|_{L^{p,n}(\Omega)}\leq C(n,p,A)\|f\|_{\BMO(\Omega)}.
\]
不等式的另一边是H\”older不等式的直接推论.

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