明显$L^\infty\subset BMO$, 为了说明反之不一定成立, 我们验证$u(x)=\log(x)$, $x\in(0,+\infty)$是属于BMO的.
按照BMO空间的定义, 需要证明
$$
[u]_{x,r}\eqdef\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}|u(y)-u_{x,r}|dy< +\infty,\quad\forall 0 < r < x. $$ 这里$u_{x,r}\eqdef\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}\log ydy$.
首先, 注意到, 由$\log$的性质, 对$\lambda>0$,
\begin{align*}
u_{\lambda x,\lambda r}&=\frac{1}{2\lambda r}\int_{\lambda x-\lambda r}^{\lambda x+\lambda r}\log y dy\\
&=\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}(\log y+\log\lambda )dy\\
&=u_{x,r}+\log\lambda.
\end{align*}
因此
\begin{align*}
[u]_{\lambda x,\lambda r}&=\frac{1}{2\lambda r}\int_{\lambda x-\lambda r}^{\lambda x+\lambda r}|u(y)-u_{\lambda x,\lambda r}|dy\\
&=\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}|u(\lambda y)-u_{x,r}-\log\lambda |dy\\
&=[u]_{x,r}.
\end{align*}
可见, 我们只需计算$\sup_{x\in(1,+\infty)}[u]_{x,1}<+\infty$即可.
注意到
\begin{align*}
u_{y,1}&=\frac{1}{2}\int_{y-1}^{y+1}\log ydy
=\frac{1}{2}(x\log x-x)|_{y-1}^{y+1}\\
&=1+\frac{1}{2}\log(y^2-1)+\frac{1}{2}y\log\frac{y+1}{y-1},
\end{align*}
比较复杂. 我们需要如下引理
$$
\sup_{Q\subset\Omega}\frac{1}{|Q|}\int_Q|f(x)-c_Q|dx\leq C.
$$
$$
[f]_{BMO;\Omega}\eqdef\sup_{Q\subset\Omega}\frac{1}{|Q|}\int_Q|f(x)-f_{Q}|dx,
$$
其中
$$
f_Q=\frac{1}{|Q|}\int_Qf(x)dx.
$$
现在, 只需注意到
\begin{align*}
|f(x)-f_{Q}|&\leq|f(x)-c_Q|+|c_Q-f_Q|\\
&\leq|f(x)-c_Q|+\frac{1}{|Q|}\int_Q|f(x)-c_Q|dx\\
&\leq|f(x)-c_Q|+C.
\end{align*}
由此, 容易得到
$$
[f]_{BMO;\Omega}\leq 2C.
$$
另一方向是容易的.
利用上述引理, 对$Q=(x-1,x+1)$, 当$x\geq2$时, 令$c_Q=\log x$, 则
\begin{align*}
\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}|\log y-\log x|dy&=\frac{1}{2}x\int_{1-1/x}^{1+1/x}|\log z|dz\\
&\leq\frac{1}{2}x(\log 2)\frac{2}{x}=\log2;
\end{align*}
而当$x\in(1,2)$时, 令$c_Q=0$, 则
\begin{align*}
\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}|\log y|dy&\leq\int_{0}^3|\log y|dy=3(\log 3-1).
\end{align*}