Author Van Abel Posted on February 11, 2020Categories MATH   Leave a comment on 自旋几何简介

自旋几何简介

自旋几何简介 Van Abel 02/11/2020 \begin{document} Abstract. 我们简单的介绍自旋几何里基本的概念，可以参考[1]。 Definition 1 (自旋结构). 假设$(M^m,h)$是一个可定向黎曼流形。 $M$上的一个自旋结构是一个二元对$(\mathrm{Spin}(M),\eta)$，其中$\mathrm{Spin}(M)$是$M$上一个$\mathrm{Spin}_m$-主丛，而$\eta$是一个2重覆盖使得下图交换 \[ \begin{CD} \mathrm{Spin}(M)\times \mathrm{Spin}_m@>\rho_1>> \mathrm{Spin}(M)@>\pi>> M\\ @VV \eta\times \mathrm{Ad}V@VV\eta V@|\\ \mathrm{SO}(M)\times \mathrm{SO}_m@>\rho_2>> \mathrm{SO}(M)@>>\pi>M, \end{CD} \] 其中$\rho_1$, $\rho_2$分别是自旋群$\mathrm{Spin}_m$和$\mathrm{SO}_m$作用在主丛$\mathrm{Spin}(M)$和$\mathrm{SO}(M)$上。 $M$上自旋结构的存在性等价于$M$的第二Stiefel-Whitney类$\omega_2(M)=0$，这是一个拓扑限制。 References O. Hijazi, Spectral properties of the Dirac operator and geometrical structures, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001. 116—169. MR1867733

Author Van Abel Posted on March 29, 2019Categories MATHTags , ,   Leave a comment on $\alpha$-调和映照流的初边值问题之存在性

$\alpha$-调和映照流的初边值问题之存在性

我们首先来看$\alpha$调和映照流, 其方程可以写作 $$\left\{\begin{aligned} \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}u_k^\gamma u_l^\beta}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}&=\Gamma^\beta(u)(\nabla u,\nabla u),\quad x\in M;\\ u(\cdot,0)&=u_0\in C^\infty(M), \quad x\in M;\\ u^n(x,t)&=0, \quad (x,t)\in\partial M\times[0,T];\\ \frac{\partial u^\beta}{\partial\nu}&=0,\quad (x,t)\in \partial M\times [0,T],\quad \beta=1,2,\ldots, n-1. \end{aligned}\right.$$ 我们将考虑其线性形式, 即 $$ \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}w_k^\gamma w_l^\beta}{1+\lvert \nabla w \rvert^2}=\Gamma^\beta(w)(\nabla w,\nabla w),\quad x\in M. $$ 改写成标准的形式 $$ \mathcal{L}u=f, $$

Author Van Abel Posted on March 1, 2019Categories MATHTags   Leave a comment on α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算

α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算

回忆, $\alpha$-杨米尔斯–希格斯场的方程为方程组 $$ \Delta a_j^\beta=2\left( -a_i^\gamma \partial_ia_j^\delta g_{\gamma\delta}^\beta+\Upsilon h_{ab}(u)u_{|j}^a\lambda_\beta^b(u)+F_{ij}^\gamma a_i^\delta g_{\beta\delta}^\gamma \right), $$ 与 $$ \mathrm{div}(\Upsilon h_{ab}u_{|i}^a)=\Upsilon h_{ad}(u)u_{|i}^a\left( \Gamma_{bc}^d(u)\partial_iu^c+A_{bi}^d(u) \right)+\mu(u)\cdot\left[ \nabla_{\partial_{f^b}}\mu \right](u), $$ 其中$\Upsilon=\alpha(1+\lvert \nabla_Au \rvert^2)^{\alpha-1}=\alpha\left(1+h_{ab}(u)(\partial_iu^a+a_i^\beta\lambda_\beta^a(u))(\partial_iu^b+a_i^\gamma\lambda_\gamma^b(u))\right)^{\alpha-1}$, $u_{|i}^a=\partial_iu^a+a_i^\beta \lambda_\beta^a(u)$, $F_{ij}^\gamma=(\partial_ia_j^\gamma-\partial_ja_i^\gamma)+2a_i^\beta a_j^\delta g_{\beta\delta}^\gamma$, $A_{bi}^d(u)=a_i^\beta\left(\partial_{f^b}\lambda_\beta^d(u)+\lambda_\beta^c(u)\Gamma_{bc}^d(u)\right)$, 而$h$, $\Gamma$, $\lambda$, $\mu$ 是 $u$的光滑函数. 按照定义 $[v_\beta,v_\gamma]=g_{\beta\gamma}^\delta v_\delta$, $\left\{ g_{\beta\gamma}^\delta \right\}$ 称为李代数的结构常数.

Author Van Abel Posted on March 1, 2019Categories MATHTags ,   Leave a comment on α调和映照方程的基本计算

α调和映照方程的基本计算

假设$F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}$, 则容易知道α调和映照的方程为 $$ \mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0. $$ 其中, $h_{ab}$是靶流形$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$的度量, 而$\Gamma_{ab}^c$为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为$u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a$. 直接展开知道 $$ Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0. $$

Author Van Abel Posted on June 23, 2018Categories MATHTags ,   Leave a comment on 计算$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)}$的值

计算$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)}$的值

SE上有关无穷求和(欧拉和) \begin{equation}\label{eq:n2} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \end{equation} 的讨论。参考Different methods to compute $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}$ (Basel problem). 我的问题是, 如何用他们的办法求 \begin{equation}\label{eq:n3} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+a)(n+b)(n+c)} \end{equation} 注意到 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} $$ 是$\zeta(3)$并不能准确算出来(不能用已知常数表示)。